Chuyên đề 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Chuyên đề 1 của chương trình Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng quan trọng của nó. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc học tập môn Xác suất và Thống kê, giúp học sinh có thể mô hình hóa và phân tích các hiện tượng ngẫu nhiên trong đời sống.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận được là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hoặc số con trong một gia đình là những ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc được gán một xác suất, và tổng các xác suất này phải bằng 1. Hàm số gán xác suất cho mỗi giá trị được gọi là hàm phân phối xác suất. Hàm phân phối xác suất cho phép chúng ta tính toán xác suất của các sự kiện liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc.

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có ba số đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

• Kỳ vọng toán học (E(X)): Là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng tổng của các giá trị nhân với xác suất tương ứng.
• Phương sai (Var(X)): Đo lường mức độ phân tán của các giá trị xung quanh kỳ vọng toán học.
• Độ lệch chuẩn (SD(X)): Là căn bậc hai của phương sai, cung cấp một thước đo trực quan hơn về mức độ phân tán.

4. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Bảo hiểm: Tính toán rủi ro và phí bảo hiểm.
• Tài chính: Phân tích đầu tư và quản lý rủi ro.
• Y học: Nghiên cứu dịch tễ học và thử nghiệm lâm sàng.
• Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng và thiết kế hệ thống.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Hãy tìm phân phối xác suất của X.

Bài tập 2: Một người chơi xổ số mua 10 vé số. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.01. Gọi Y là số vé trúng thưởng. Hãy tính kỳ vọng toán học và phương sai của Y.

6. Lời khuyên khi học chuyên đề này

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Hiểu rõ cách tính toán hàm phân phối xác suất.
• Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính hoặc phần mềm thống kê để giải quyết các bài toán phức tạp.

Hy vọng rằng chuyên đề này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên rời rạc và các ứng dụng của nó. Chúc bạn học tập tốt!