Chuyên đề 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Kết nối tri thức

Chuyên đề 1 của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó. Đây là một phần kiến thức nền tảng, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất thống kê.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn các giá trị đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, v.v.

2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có ba số đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giá trị kỳ vọng (E(X)): Là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng tổng của tích các giá trị có thể nhận được của biến ngẫu nhiên với xác suất tương ứng của chúng.
Phương sai (Var(X)): Là độ đo mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên so với giá trị kỳ vọng.
Độ lệch chuẩn (SD(X)): Là căn bậc hai của phương sai, cũng là một độ đo mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên.

3. Công thức tính toán

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x₁, x₂, ..., x_n với xác suất tương ứng p₁, p₂, ..., p_n.

Khi đó:

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n
Var(X) = E(X²) - (E(X))²
SD(X) = √Var(X)

4. Ví dụ minh họa

Xét một biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt sáu chấm khi tung một con xúc xắc một lần. Các giá trị có thể nhận được của X là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Xác suất xuất hiện mỗi mặt là 1/6.

Tính giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Giải:

E(X) = 0*(1/6) + 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5
E(X²) = 0²*(1/6) + 1²*(1/6) + 2²*(1/6) + 3²*(1/6) + 4²*(1/6) + 5²*(1/6) + 6²*(1/6) = 14.1667
Var(X) = 14.1667 - (3.5)² = 2.9167
SD(X) = √2.9167 ≈ 1.7078

5. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:

Bảo hiểm: Tính toán mức phí bảo hiểm dựa trên xác suất xảy ra rủi ro.
Tài chính: Đánh giá rủi ro và lợi nhuận của các khoản đầu tư.
Y học: Nghiên cứu về tỷ lệ mắc bệnh và hiệu quả của các phương pháp điều trị.
Kỹ thuật: Kiểm tra chất lượng sản phẩm và đánh giá độ tin cậy của hệ thống.

6. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức về biến ngẫu nhiên rời rạc, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.
Một người chơi xổ số mua 10 vé số. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Gọi Y là số vé trúng thưởng. Tìm giá trị kỳ vọng và phương sai của Y.

Hy vọng chuyên đề này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc. Chúc bạn học tập tốt!