Chuyên đề 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Nó mô tả một biến mà giá trị của nó chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được. Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu về định nghĩa, các loại biến ngẫu nhiên rời rạc, và đặc biệt là các số đặc trưng của chúng.

1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) là một biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận của nó là rời rạc, tức là có thể liệt kê được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hoặc số học sinh đạt điểm giỏi trong một lớp học đều là các biến ngẫu nhiên rời rạc.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc được gán một xác suất, thể hiện khả năng giá trị đó xảy ra. Tập hợp tất cả các giá trị có thể nhận và xác suất tương ứng của chúng được gọi là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Phân phối xác suất phải thỏa mãn hai điều kiện:

• 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x thuộc tập giá trị của X
• ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị phải bằng 1)

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Để mô tả và so sánh các biến ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta sử dụng các số đặc trưng sau:

• Kỳ vọng (Expected Value - E(X)): Là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng công thức E(X) = ∑ x * P(X = x). Kỳ vọng cho biết giá trị mà chúng ta có thể mong đợi nhận được nếu thực hiện một số lượng lớn các phép thử.
• Phương sai (Variance - Var(X)): Đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng. Phương sai được tính bằng công thức Var(X) = E[(X - E(X))^2] = ∑ (x - E(X))^2 * P(X = x).
• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation - σ(X)): Là căn bậc hai của phương sai, được tính bằng công thức σ(X) = √Var(X). Độ lệch chuẩn cho biết mức độ biến động của các giá trị của biến ngẫu nhiên.

4. Ví dụ minh họa

Xét một biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung một đồng xu hai lần. Các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, và 2. Giả sử đồng xu là công bằng, xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0.5 và xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.5. Ta có thể tính phân phối xác suất của X như sau:

• P(X = 0) = 0.25 (mặt sấp cả hai lần)
• P(X = 1) = 0.5 (một mặt ngửa, một mặt sấp)
• P(X = 2) = 0.25 (mặt ngửa cả hai lần)

Kỳ vọng của X là E(X) = 0 * 0.25 + 1 * 0.5 + 2 * 0.25 = 1. Phương sai của X là Var(X) = (0 - 1)^2 * 0.25 + (1 - 1)^2 * 0.5 + (2 - 1)^2 * 0.25 = 0.5. Độ lệch chuẩn của X là σ(X) = √0.5 ≈ 0.707.

5. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Thống kê: Phân tích dữ liệu, ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết.
• Bảo hiểm: Tính toán phí bảo hiểm, đánh giá rủi ro.
• Tài chính: Định giá các công cụ tài chính, quản lý danh mục đầu tư.
• Khoa học máy tính: Mô hình hóa các thuật toán, phân tích hiệu suất.

6. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức về biến ngẫu nhiên rời rạc, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để rút được 2 quả bóng đỏ.
2. Một người chơi xổ số mua 10 vé số. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé số là 0.1. Tính kỳ vọng số vé trúng thưởng.

Hy vọng chuyên đề này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc. Chúc bạn học tập tốt!