Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước - Toán 9

Cách Xác Định Giá Trị Tham Số Đường Thẳng Đi Qua Hai Điểm - Toán 9

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa để nắm vững phương pháp này.

Nội dung bài viết được trình bày một cách dễ hiểu, phù hợp với học sinh đang ôn tập và luyện thi.

1. Đường thẳng ax + by = c là gì?

Đường thẳng \(ax + by = c\) là tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).

2. Cách xác định các điểm mà đường thẳng đi qua

- Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by = c.

+ Phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\)

Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có toạ độ \(\left( {\frac{c}{a};{y_0}} \right)\) \(\left( {{y_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_1}:x = \frac{c}{a}\). Đường thẳng \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{a}\) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.

+ Phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\)

Mỗi nghiệm của phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ \(\left( {{x_0};\frac{c}{b}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}:y = \frac{c}{b}\). Đường thẳng \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{b}\) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.

+ Phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\)

Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng \({d_3}:y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\).

- Đường thẳng d: \(ax + by = c\) luôn đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c\).

3. Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Một số lưu ý để giải dạng toán này:

- Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng \(d:ax + by = c\) có dạng: \(x = \frac{c}{a}\). Khi đó d song song với Oy.

- Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng \(d:ax + by = c\) có dạng: \(y = \frac{c}{b}\). Khi đó d song song hoặc trùng với Ox.

- Đường thẳng \(d:ax + by = c\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c\).

Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước:

+ Bước 1: Phương trình \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}a.{x_A} + b = {y_A}\\a.{x_B} + b = {y_B}\end{array} \right.\)

+ Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được để tìm ra các hệ số của phương trình.

Làm chủ Toán 9, tự tin vào phòng thi! Đừng bỏ lỡ Cách xác định giá trị tham số để đường thẳng đi qua hai điểm cho trước - Toán 9 đặc sắc thuộc chuyên mục giải toán 9 trên nền tảng toán học. Với bộ bài tập toán trung học cơ sở được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình sách giáo khoa mới nhất, đây chính là công cụ đắc lực giúp các em tối ưu hóa ôn luyện, củng cố kiến thức vững chắc và thuần thục mọi dạng bài thi khó nhằn. Phương pháp học trực quan, khoa học sẽ mang lại hiệu quả vượt trội, giúp con bạn chinh phục mọi thử thách một cách dễ dàng.

I. Giới thiệu chung về phương trình đường thẳng và tham số

Trong hình học lớp 9, phương trình đường thẳng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả vị trí và tính chất của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Một trong những dạng phương trình đường thẳng thường gặp là phương trình tham số. Phương trình tham số của đường thẳng cho phép biểu diễn tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng thông qua một tham số.

II. Phương pháp xác định giá trị tham số

Để xác định giá trị tham số của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B), ta thực hiện các bước sau:

Tìm vector chỉ phương của đường thẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng AB là AB = (x_B - x_A; y_B - y_A).
Viết phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng:
- x = x_A + t(x_B - x_A)
- y = y_A + t(y_B - y_A)
Trong đó, t là tham số.
Xác định giá trị tham số: Để tìm giá trị tham số t tương ứng với một điểm M(x_M; y_M) nằm trên đường thẳng AB, ta giải hệ phương trình:
- x_M = x_A + t(x_B - x_A)
- y_M = y_A + t(y_B - y_A)
Từ đó, ta tìm được giá trị của t.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định giá trị tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4).

Giải:

Vector chỉ phương của đường thẳng AB là AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
- x = 1 + 2t
- y = 2 + 2t
Tìm giá trị tham số khi x = 5. Thay x = 5 vào phương trình x = 1 + 2t, ta được 5 = 1 + 2t, suy ra t = 2. Vậy, khi x = 5 thì t = 2.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số x = 2 + t, y = 1 - 3t. Điểm M(5; -8) có thuộc đường thẳng d không?

Giải:

Để kiểm tra điểm M thuộc đường thẳng d, ta thay x = 5 và y = -8 vào phương trình tham số của d:

5 = 2 + t => t = 3
-8 = 1 - 3t => t = 3

Vì giá trị của t là như nhau trong cả hai phương trình, nên điểm M(5; -8) thuộc đường thẳng d.

IV. Bài tập luyện tập

Xác định giá trị tham số của đường thẳng đi qua hai điểm C(-1; 3) và D(2; -3).
Cho đường thẳng d có phương trình tham số x = -1 + 2t, y = 4 - t. Điểm N(3; 2) có thuộc đường thẳng d không?
Tìm giá trị của tham số t để điểm P(0; 5) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4).

V. Kết luận

Việc xác định giá trị tham số của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 9. Thông qua việc nắm vững lý thuyết, công thức và thực hành các bài tập, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng và tham số.