Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm của hai phương trình. Đây là một phương pháp trực quan và dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức Toán 9.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách vẽ đồ thị của hai phương trình và xác định giao điểm của chúng, từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Ta đã biết, mỗi nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) (*) là một nghiệm chung của hai phương trình trong (*). Nghiệm chung ấy tương ứng với điểm chung của hai đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\) và \(\Delta ':a'x + b'y = c'\), tức là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\). Do đó ta có thể giải hệ (*) bằng cách vẽ hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) rồi tìm toạ độ điểm chung của chúng. Từ đó, ta thấy chỉ có thể xảy ra 3 trường hợp:
1) \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau (có một điểm chung). Hệ (*) có một nghiệm duy nhất.
2) \(\Delta \) và \(\Delta '\) song song với nhau (không có điểm chung). Hệ (*) vô nghiệm.
3) \(\Delta \) và \(\Delta '\) trùng nhau (mỗi điểm của \(\Delta \) đều là điểm chung). Hệ (*) có vô số nghiệm.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc hiểu rõ cách giải hệ phương trình này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó, a, b, a', b', c, c' là các số thực và a, b, a', b' không đồng thời bằng 0.
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Nghiệm của hệ phương trình là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
Xét hệ phương trình sau:
Bước 1: Vẽ đồ thị của hai phương trình.
Bước 2: Xác định giao điểm của hai đường thẳng. Dựa vào đồ thị, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (2, 1).
Bước 3: Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 2, y = 1.
Ưu điểm:
Nhược điểm:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp hình học:
Việc xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thông qua biểu diễn hình học nghiệm là một phương pháp hữu ích và trực quan. Tuy nhiên, cần lưu ý những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp này để sử dụng một cách hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
