Chào mừng bạn đến với bài học về cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình trong chương trình Toán 9 tại giaitoan.edu.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, phương pháp giải chi tiết và các bài tập thực hành để bạn có thể nắm vững kiến thức này.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các bước để chuyển đổi một bài toán thực tế thành một hệ phương trình, sau đó giải hệ phương trình đó để tìm ra nghiệm và giải quyết bài toán ban đầu.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.
Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).
Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).
Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} = - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất
Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm
Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).
Chú ý:
- Muốn xoá số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Phương pháp lập hệ phương trình là một kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là ở cấp THCS. Phương pháp này giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế bằng cách chuyển chúng thành các bài toán đại số, sau đó giải bằng các công cụ đại số quen thuộc.
Phương pháp này thường được sử dụng khi bài toán có nhiều đại lượng liên quan đến nhau và có mối quan hệ rõ ràng. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu tìm giá trị của các đại lượng này dựa trên các thông tin đã cho.
Đây là một dạng bài tập rất phổ biến. Thông thường, bài toán sẽ cho thông tin về quãng đường, vận tốc và thời gian của hai vật chuyển động. Chúng ta cần sử dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian để lập hệ phương trình.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h. Sau 2 giờ, một ô tô khác đi từ B về A với vận tốc 80km/h. Biết rằng hai ô tô gặp nhau sau 1 giờ kể từ khi ô tô thứ hai xuất phát. Tính quãng đường AB.
Giải:
Dạng bài tập này thường liên quan đến việc tính toán năng suất làm việc của các công nhân hoặc máy móc. Chúng ta cần sử dụng công thức: Công việc = Năng suất x Thời gian để lập hệ phương trình.
Hai công nhân được giao làm một công việc. Nếu mỗi công nhân làm một mình thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành công việc. Nếu cả hai công nhân cùng làm thì sau 4 giờ sẽ hoàn thành công việc. Hỏi năng suất làm việc của mỗi công nhân là bao nhiêu?
Giải:
Dạng bài tập này thường liên quan đến việc tính toán phần trăm của một đại lượng nào đó. Chúng ta cần sử dụng các công thức về phần trăm để lập hệ phương trình.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Chúc bạn học tốt và thành công với phương pháp lập hệ phương trình!
