Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm mối liên hệ giữa hai ẩn trong một hệ phương trình, sao cho mối liên hệ đó không phụ thuộc vào giá trị của tham số m. Đây là một dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi Toán 9.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các phương pháp giải, các ví dụ minh họa cụ thể và các bài tập luyện tập để bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\):
- Hê phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\).
- Hệ phương trình vô nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\).
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)+ Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất.
+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế để làm mất tham số m.
+ Bước 3: Kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Trong toán học, đặc biệt là trong giải hệ phương trình, việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn là một kỹ năng quan trọng. Khi bài toán yêu cầu tìm mối liên hệ không phụ thuộc vào tham số m, điều đó có nghĩa là mối liên hệ giữa hai ẩn phải luôn đúng, bất kể giá trị của m thay đổi như thế nào. Điều này thường được thực hiện bằng cách loại bỏ tham số m khỏi phương trình biểu diễn mối liên hệ đó.
Có nhiều phương pháp để tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
Phương pháp thế được sử dụng khi có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ một trong các phương trình của hệ. Sau đó, thế biểu thức này vào phương trình còn lại để loại bỏ một ẩn và tìm mối liên hệ giữa hai ẩn còn lại.
Ví dụ:
Cho hệ phương trình:
Từ phương trình thứ nhất, ta có: x = 1 - my. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
m(1 - my) + y = 1
m - m2y + y = 1
y(1 - m2) = 1 - m
Nếu 1 - m2 ≠ 0 (tức là m ≠ ±1), thì y = (1 - m) / (1 - m2) = 1 / (1 + m). Khi đó, x = 1 - my = 1 - m/(1+m) = 1/(1+m). Vậy mối liên hệ giữa x và y là x = y, không phụ thuộc vào m.
Phương pháp cộng đại số được sử dụng khi có thể cộng hai phương trình của hệ để loại bỏ một ẩn. Sau đó, ta sẽ có một phương trình chỉ chứa hai ẩn cần tìm mối liên hệ.
Ví dụ:
Cho hệ phương trình:
Cộng hai phương trình, ta được:
2x = 2m
x = m
Thay x = m vào phương trình thứ nhất, ta được:
m + y = m + 1
y = 1
Vậy mối liên hệ giữa x và y là x = m và y = 1. Mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là y = 1.
Đối với hệ phương trình bậc hai, có thể sử dụng định thức để tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm. Từ đó, có thể suy ra mối liên hệ giữa hai ẩn.
Các bài tập về tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m thường xuất hiện trong các dạng sau:
Dưới đây là một số bài tập luyện tập để bạn củng cố kiến thức:
Việc tìm mối liên hệ giữa hai ẩn không phụ thuộc vào tham số m là một kỹ năng quan trọng trong giải toán. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự một cách hiệu quả.
