Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất, đồng thời thỏa mãn một điều kiện cụ thể nào đó. Đây là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hệ phương trình và các phương pháp giải.
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các bước giải, các dạng bài tập thường gặp và các lưu ý quan trọng để đạt kết quả tốt nhất. Bài viết này phù hợp với học sinh đang ôn thi vào lớp 10 hoặc muốn nâng cao kiến thức về toán học.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có).
+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m.
+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện.
+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Bước 6: Kết luận.
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Hệ phương trình bậc hai là hệ phương trình trong đó các phương trình thành phần đều là phương trình bậc hai. Để hệ phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất, cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định. Việc tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán 9.
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình bậc hai, bao gồm:
Để hệ phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất, cần thỏa mãn các điều kiện sau:
Để giải dạng bài này, ta thực hiện các bước sau:
Để giải dạng bài này, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
{ x + y = 2 x2 + y2 = 2 }
Giải:
Từ phương trình x + y = 2, ta có y = 2 - x. Thay vào phương trình x2 + y2 = 2, ta được:
x2 + (2 - x)2 = 2
x2 + 4 - 4x + x2 = 2
2x2 - 4x + 2 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
x = 1
Khi x = 1, y = 2 - 1 = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1).
Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0, y > 0:
{ x + y = m xy = 1 }
Giải:
Theo định lý Viète, x và y là nghiệm của phương trình t2 - mt + 1 = 0. Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0, tức là m2 - 4 ≥ 0. Suy ra m ≥ 2 hoặc m ≤ -2.
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, Δ = 0, tức là m2 - 4 = 0. Suy ra m = 2 hoặc m = -2.
Nếu m = 2, phương trình trở thành t2 - 2t + 1 = 0, có nghiệm duy nhất t = 1. Khi đó x = y = 1, thỏa mãn x > 0, y > 0.
Nếu m = -2, phương trình trở thành t2 + 2t + 1 = 0, có nghiệm duy nhất t = -1. Khi đó x = y = -1, không thỏa mãn x > 0, y > 0.
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
{ x - y = 1 x2 + y2 = 5 }
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 4:
{ x + y = m xy = 3 }
