Bài toán lập hệ phương trình là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt là các bài toán liên quan đến thực tế như dân số, lãi suất ngân hàng, và tăng trưởng. Việc nắm vững phương pháp giải loại bài toán này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập có đáp án để giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán lập hệ phương trình một cách hiệu quả.
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
Công thức cần nhớ:
+ Tỉ lệ phần trăm: \(x\% = \frac{x}{{100}}\).
+ Tỉ lệ tăng dân số: Nếu A là số dân ban đầu, tỉ lệ gia tăng dân số là \(x\% \).
· Sau 1 năm, số dân là: \(A + Ax = A\left( {1 + x} \right)\).
· Sau n năm số dân là: \(A{\left( {1 + x} \right)^n}\).
+ Lãi suất ngân hàng: Nếu ban đầu bạn vay (hoặc mượn) số tiền A với lãi suất \(x\% \).
· Sau 1 chu kỳ (thường là năm/tháng), số tiền cả gốc lẫn lãi là: \(A + Ax = A\left( {1 + x} \right)\).
· Sau n chu kỳ (thường là năm/tháng), số tiền cả gốc lẫn lãi là: \(A{\left( {1 + x} \right)^n}\).
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lưu ý: Tuỳ theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc y theo x.
Bước 1. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau bằng cách nhân hai vế của một phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Bước 2. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.
Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).
Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).
Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} = - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:
Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất
Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm
Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).
Chú ý:
- Muốn xoá số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán lập hệ phương trình là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 9, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các vấn đề thực tế. Các bài toán này thường liên quan đến các tình huống như tính dân số, tính lãi suất ngân hàng, tính tốc độ tăng trưởng, và các bài toán về chuyển động.
Để giải bài toán lập hệ phương trình hiệu quả, học sinh cần thực hiện theo các bước sau:
Các bài toán về dân số thường yêu cầu tính số dân hiện tại, số dân sau một khoảng thời gian nhất định, hoặc tốc độ tăng trưởng dân số. Ví dụ:
Bài toán: Dân số của một thành phố năm nay là 1.000.000 người. Sau một năm, số dân tăng thêm 10.000 người. Hỏi sau 5 năm nữa, số dân của thành phố là bao nhiêu, biết rằng mỗi năm số dân tăng thêm một tỷ lệ nhất định?
Các bài toán về lãi suất ngân hàng thường yêu cầu tính số tiền lãi, số tiền gốc, hoặc lãi suất tiết kiệm. Ví dụ:
Bài toán: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng 50.000.000 đồng với lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 3 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền lãi?
Các bài toán về tăng trưởng thường yêu cầu tính tốc độ tăng trưởng, số lượng sau một khoảng thời gian nhất định, hoặc thời gian để đạt được một số lượng nhất định. Ví dụ:
Bài toán: Một loại vi khuẩn sau mỗi giờ phân chia thành hai tế bào. Hỏi sau 10 giờ, số lượng vi khuẩn là bao nhiêu, biết rằng ban đầu có 1 tế bào?
Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài toán lập hệ phương trình:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài toán lập hệ phương trình được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong các kỳ thi và trong cuộc sống.
