Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những kiến thức nền tảng của chương trình Toán 9. Việc nắm vững khái niệm nghiệm, các phương pháp giải và cách xác định nghiệm đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách đầy đủ và dễ hiểu về nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể để bạn có thể áp dụng vào thực tế.
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\)
Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) nếu nó đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
Để xác định cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\) hay không, ta kiểm tra xem \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có là nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) hay không.
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} \ne c\) và \(a'{x_0} + b'{y_0} \ne c'\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) và \(a'{x_0} + b'{y_0} \ne c'\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} \ne c\) và \(a'{x_0} + b'{y_0} = c'\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).
+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) và \(a'{x_0} + b'{y_0} = c'\) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\).Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:
Trong đó, a, b, a', b', c, c' là các số thực và a, b, a', b' không đồng thời bằng 0. Nghiệm của hệ phương trình là các giá trị của x và y thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình trên.
Có ba trường hợp có thể xảy ra với nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Có nhiều phương pháp để xác định nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, trong đó phổ biến nhất là:
Phương pháp này thường được sử dụng khi hệ phương trình có dạng đặc biệt. Ví dụ, nếu hệ có dạng:
Ta có thể đặt u = ax và v = by, sau đó giải hệ phương trình mới với u và v.
Đây là phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất. Ta thực hiện các bước sau:
Ta thực hiện các bước sau:
Xét hệ phương trình sau:
Sử dụng phương pháp cộng đại số, ta cộng hai phương trình lại với nhau:
(2x + y) + (x - y) = 5 + 1
3x = 6
x = 2
Thay x = 2 vào phương trình x - y = 1, ta có:
2 - y = 1
y = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y) = (2, 1).
Giải các hệ phương trình sau:
Việc hiểu rõ về nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 9. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
