Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc tìm nghiệm nguyên của phương trình này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về số nguyên, phép chia có dư và các phương pháp giải phương trình đơn giản.
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về chủ đề này.
Nếu tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) ta có \(a{x_0} + b{y_0} = c\) là một khẳng định đúng thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình \(ax + by = c\).
Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm.
Để tìm được các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất 2 ẩn đã cho, ta thực hiện các bước sau:
Cách 1:
· Bước 1: Rút gọn biểu thức phương trình, lưu ý đến tính chia hết của các ẩn
· Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của ẩn này có giá trị tuyệt đối nhỏ (giả sử là x) theo ẩn kia.
· Bước 3: Tách riêng phần giá trị nguyên ở biểu thức của x
· Bước 4: Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x thông qua số nguyên t ta được phương trình bậc nhất 2 ẩn y và t
Tiếp tục làm các bước như trên cho đến khi các ẩn của phương trình đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Cách 2:
· Bước 1: Tìm 1 cặp nghiệm nguyên của phương trình \(\left( {{x_1};{y_1}} \right)\)
· Bước 2: Đưa phương trình trên về dạng \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = c\) từ đó có thể dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng tổng quát là ax + by = c, trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0. x và y là các ẩn số. Nghiệm của phương trình là các cặp số (x0, y0) sao cho khi thay x = x0 và y = y0 vào phương trình, phương trình được nghiệm đúng.
Nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là các cặp số (x0, y0) thỏa mãn phương trình và cả x0 và y0 đều là số nguyên.
Có nhiều phương pháp để tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
Phương pháp này thường được sử dụng khi a và b là các số nguyên tố cùng nhau. Ta có thể biểu diễn y theo x (hoặc x theo y) và sau đó tìm các giá trị nguyên của x (hoặc y) thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ: Giải phương trình 3x + 5y = 10
Phương pháp này dựa trên việc phân tích tính chia hết của các hệ số a, b, c để tìm ra các điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên.
Ví dụ: Xét phương trình ax + by = c. Nếu c không chia hết cho ước chung lớn nhất của a và b (gcd(a, b)), thì phương trình không có nghiệm nguyên.
Trong một số trường hợp đặc biệt, có thể sử dụng phương pháp lượng giác để tìm nghiệm nguyên. Tuy nhiên, phương pháp này không phải lúc nào cũng áp dụng được.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 3y = 7
Giải:
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y = 5
Giải:
Vì x và y là số nguyên dương, ta có x ≥ 1 và y ≥ 1. Từ phương trình x + y = 5, ta có y = 5 - x. Để y ≥ 1, ta có 5 - x ≥ 1 => x ≤ 4. Vậy x có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4. Ứng với mỗi giá trị của x, ta có một giá trị của y:
| x | y |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
| 4 | 1 |
Vậy phương trình x + y = 5 có 4 nghiệm nguyên dương là (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).
Việc tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 9. Bằng cách nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này.
