Dạng toán này là một phần quan trọng trong chương trình Toán nâng cao lớp 4, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng tính toán nhanh nhạy. Bài học này tại giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp các phương pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán về dãy phân số có quy luật một cách dễ dàng.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các kỹ thuật nhận diện quy luật, cách áp dụng các công thức và mẹo tính toán để tiết kiệm thời gian và đạt kết quả chính xác nhất.
Cho phân số 56/81 Hỏi cùng thêm vào tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân số bằng 3/4. Một đội tự nguyện trường Nguyễn Tất thành đi trồng cây ở tỉnh Hà Giang trong 3 ngày.
Loại 1: Dãy phân số có quy luật mẫu số sau gấp mẫu số trước một số không đổi
Phương pháp giải Giải sử biểu thức cần tìm là A. Các phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số của phân số trước n lần. Bước 1: Tính A x n Bước 2: Tính A x n - A |
Ví dụ 1:
Tính giá trị $A = \frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}$
Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.
Bài giải:
$A = \frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}$ (1)
$2 \times A = 2 \times \left( {\frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}} \right)$
$ = \frac{2}{2}\,\, + \,\,\frac{2}{4}\,\, + \,\,\,\frac{2}{8}\,\, + \,\,\frac{2}{{16}}\,\, + \,\,\frac{2}{{32}}\,\, + \,\,\frac{2}{{64}}$
$ = 1\,\, + \,\,\frac{1}{2}\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\,\,$ (2)
Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận thấy ở A và 2 x A có nhiều phân số giống nhau. Nếu ta trừ hai vế cho nhau thì được:
$2 \times A - A$= $\left( {1\,\, + \,\,\frac{1}{2}\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\,\,} \right)\,\, - \,\,$$\left( {\frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}} \right)$
$A = $ 1 – $\frac{1}{{64}}$= $\frac{{63}}{{64}}$
Ví dụ 2:
Tính $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$
Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa.
Giải:
Ta có $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$
$3 \times A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}$
Trừ hai vế ta có:
$3 \times A - A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}})$
$2 \times A = 1 - \frac{1}{{729}} = \frac{{728}}{{729}}$
$A = \frac{{728}}{{729}}:2 = \frac{{364}}{{729}}$
Ví dụ 3:
Tính giá trị $A = \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + ..... + \frac{2}{{768}}$
Ta thấy mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số của phân số trước.
Ta có $2 \times A = 2 \times (\frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + .... + \frac{2}{{768}})$
$2 \times A = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + .... + \frac{2}{{384}}$
$2 \times A - A = \left( {\frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + .... + \frac{2}{{384}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + .... + \frac{2}{{768}}} \right)$
$A = \frac{4}{3} - \frac{2}{{768}} = \frac{{511}}{{384}}$
Loại 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu số phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số phân số liền sau
Phương pháp giải Tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số. Ta tách như sau: Ví dụ: $\frac{1}{{2 \times 3}} = \frac{{3 - 2}}{{2 \times 3}} = \frac{3}{{2 \times 3}} - \frac{2}{{2 \times 3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ $\frac{2}{{3 \times 5}} = \frac{{5 - 3}}{{3 \times 5}} = \frac{5}{{3 \times 5}} - \frac{3}{{3 \times 5}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$ |
Ví dụ 1:
$A = \frac{1}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, + \,\,\frac{1}{{3\, \times \,4}}\,\, + \,\,\frac{1}{{4\, \times \,5}}\,\, + \,\frac{1}{{5\, \times \,6}}$
$A = \frac{{3\, - \,2}}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, + \,\,\frac{{4\, - \,3}}{{3\, \times \,4}}\,\, + \,\,\frac{{5\, - \,4}}{{4\, \times \,5}}\,\, + \,\frac{{6\, - \,5}}{{5\, \times \,6}}$
= $\frac{3}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, - \,\,\frac{2}{{2\, \times \,3}}\,\, + \,\,\frac{4}{{3\, \times \,4}}\,\, - \frac{3}{{3\, \times \,4}} + \,\,\frac{5}{{4\, \times \,5}}\,\, - \,\,\frac{4}{{4\, \times \,5}} + \,\frac{6}{{5\, \times \,6}}\,\, - \,\,\frac{5}{{5\, \times \,6}}$
= $\frac{1}{2}\,\, - \,\frac{1}{3}\,\, + \,\,\frac{1}{3}\,\, - \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, - \,\,\frac{1}{5}\,\, + \,\,\frac{1}{5}\,\, - \,\frac{1}{6}$
= \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
Ví dụ 2:
$B = \frac{3}{{2 \times 5}} + \frac{3}{{5 \times 8}} + \frac{3}{{8 \times 11}} + \frac{3}{{11 \times 14}}$
$B = \frac{{5 - 2}}{{2 \times 5}} + \frac{{8 - 5}}{{5 \times 8}} + \frac{{11 - 8}}{{8 \times 11}} + \frac{{14 - 11}}{{11 \times 14}}$
$ = \frac{5}{{2 \times 5}} - \frac{2}{{2 \times 5}} + \frac{8}{{5 \times 8}} - \frac{5}{{5 \times 8}} + \frac{{11}}{{8 \times 11}} - \frac{8}{{8 \times 11}} + \frac{{14}}{{11 \times 14}} - \frac{{11}}{{11 \times 14}}$
$ = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{14}}$
$ = \frac{1}{2} - \frac{1}{{14}} = \frac{3}{7}$
Bài tập áp dụng:
Tính giá trị$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + .... + \frac{1}{{1024}}$
Tính giá trị\(A = \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{160}} + \frac{1}{{320}}\)
Tính giá trị của$C = \frac{3}{2}\,\, + \,\,\frac{3}{8}\,\, + \,\,\frac{3}{{32}}\,\, + \,\,\frac{3}{{128}}\,\, + \,\,\frac{3}{{512}}$
Tính giá trị của $D = \frac{5}{2}\,\, + \frac{5}{6}\,\, + \,\,\frac{5}{{18}}\,\, + \,\,\frac{5}{{54}}\,\, + \,\,\frac{5}{{162}}\,\, + \,\,\frac{5}{{486}}$
Tính nhanh$B = \frac{4}{{3\, \times \,7}}\,\, + \,\,\frac{4}{{7\, \times \,11}}\,\, + \,\,\frac{4}{{11\, \times \,15}}\,\, + \,\frac{4}{{15\, \times \,19}}\,\, + \,\,\frac{4}{{19\, \times \,23}}\,\, + \,\frac{4}{{23\, \times \,27}}$
Tính nhanh$C = \frac{4}{{3\, \times \,6}}\,\, + \,\,\frac{4}{{6\, \times \,9}}\, + \,\frac{4}{{9\, \times \,12}}\, + \,\frac{4}{{12\, \times \,15}}$
Tính nhanh$D = \frac{7}{{1\, \times \,5}}\,\, + \,\,\frac{7}{{5\, \times \,9}}\,\, + \,\frac{7}{{9\, \times \,13}} + \,\frac{7}{{13\, \times \,17}}\, + \,\frac{7}{{17\, \times \,21}}$
Tính nhanh$E = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + .... + \frac{1}{{110}}$
Dãy phân số có quy luật là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán nâng cao lớp 4, đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và suy luận logic để tìm ra quy luật chung của dãy. Việc nắm vững các phương pháp tính nhanh sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tiết kiệm thời gian.
Dãy phân số có quy luật là một dãy các phân số được sắp xếp theo một trật tự nhất định, tuân theo một quy tắc hoặc công thức nào đó. Quy luật này có thể được biểu hiện qua nhiều dạng khác nhau, như:
Để tính nhanh dãy phân số có quy luật, chúng ta có thể áp dụng một số phương pháp sau:
Ví dụ 1: Tính nhanh tổng của dãy phân số sau: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32
Giải: Đây là một dãy phân số có quy luật, mỗi số hạng sau bằng một nửa số hạng trước. Ta có thể tính tổng của dãy bằng cách sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S = a / (1 - r), trong đó a là số hạng đầu tiên và r là công bội.
Trong trường hợp này, a = 1/2 và r = 1/2. Vậy:
S = (1/2) / (1 - 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của dãy phân số sau: 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, ...
Giải: Dãy phân số này có quy luật đơn giản: số hạng thứ n bằng n/n, tức là luôn bằng 1.
Vậy số hạng thứ 10 của dãy là 10/10 = 1.
Để củng cố kiến thức về dạng toán này, các em học sinh có thể thực hành với các bài tập sau:
Để học tốt dạng toán này, các em học sinh cần:
Hy vọng rằng bài học này sẽ giúp các em học sinh lớp 4 nắm vững kiến thức về dạng toán "Tính nhanh dãy phân số có quy luật" và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
