Mệnh đề chứa kí hiệu "Với mọi" (∀) và "Tồn tại" (∃) là những khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực logic và tập hợp.
Việc hiểu rõ ý nghĩa và cách sử dụng các kí hiệu này giúp học sinh, sinh viên và những người làm việc trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật có thể diễn đạt và chứng minh các định lý, mệnh đề một cách chính xác và hiệu quả.
+ Kí hiệu (forall ) đọc là “với mọi” + Kí hiệu (exists ) đọc là “tồn tại”
1. Lý thuyết
+ Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”
+ Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”
+ Mệnh đề “\(\forall x \in X,P(x)\)”
Đúng nếu với mọi \({x_0} \in X\), \(P({x_0})\) là mệnh đề đúng.
Sai nếu có \({x_0} \in X\) sao cho \(P({x_0})\) là mệnh đề sai.
+ Mệnh đề “\(\exists x \in X,P(x)\)”
Đúng nếu có \({x_0} \in X\) sao cho \(P({x_0})\) là mệnh đề đúng.
Sai nếu mọi \({x_0} \in X\) ta có \(P({x_0})\) là mệnh đề sai.
+ Mệnh đề phủ định
Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \).
Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P(x)\) là \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \).
2. Ví dụ minh họa
A: “Mọi số tự nhiên đều không âm”
B: “Với mọi số thực x, \(\sqrt x \) là số vô tỉ”
C: “Có số tự nhiên n sao cho \(n(n + 2)\) là số chính phương”
+ Viết lại các mệnh đề, sử dụng kí hiệu \(\forall ,\;\exists \)
A: “\(\forall n \in \mathbb{N},n \ge 0\)”
B: “\(\forall x \in \mathbb{R}|\sqrt x \) là số vô tỉ”
C: “\(\exists n \in \mathbb{N}|n(n + 3)\) là số chính phương”
+ Xét tính đúng sai:
Mệnh đề A đúng.
Mệnh đề B sai vì \(x = 1 \in \mathbb{R},\sqrt x = 1\) không là số vô tỉ.
Mệnh đề C đúng, vì \(n = 1\) thì \(n(n + 3) = 4\) là số chính phương.
Trong toán học, mệnh đề là một câu khẳng định có thể đúng hoặc sai. Để diễn đạt các tính chất của tập hợp hoặc các đối tượng toán học một cách tổng quát, chúng ta sử dụng các kí hiệu lượng từ "Với mọi" (∀) và "Tồn tại" (∃).
Mệnh đề chứa kí hiệu "Với mọi" (∀) có dạng: "∀x ∈ A, P(x)", trong đó:
Mệnh đề "∀x ∈ A, P(x)" đúng khi và chỉ khi mệnh đề P(x) đúng với mọi x thuộc tập hợp A. Nếu có ít nhất một x thuộc A mà P(x) sai, thì mệnh đề "∀x ∈ A, P(x)" sai.
"∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" (Với mọi số thực x, x bình phương lớn hơn hoặc bằng 0). Mệnh đề này đúng.
"∀x ∈ ℕ, x là số chẵn" (Với mọi số tự nhiên x, x là số chẵn). Mệnh đề này sai (ví dụ: x = 1).
Mệnh đề chứa kí hiệu "Tồn tại" (∃) có dạng: "∃x ∈ A, P(x)", trong đó:
Mệnh đề "∃x ∈ A, P(x)" đúng khi và chỉ khi có ít nhất một x thuộc tập hợp A mà mệnh đề P(x) đúng. Nếu với mọi x thuộc A mà P(x) đều sai, thì mệnh đề "∃x ∈ A, P(x)" sai.
"∃x ∈ ℤ, x > 0" (Tồn tại một số nguyên x lớn hơn 0). Mệnh đề này đúng (ví dụ: x = 1).
"∃x ∈ ℝ, x² = -1" (Tồn tại một số thực x mà x bình phương bằng -1). Mệnh đề này sai.
Phủ định của một mệnh đề chứa kí hiệu lượng từ được thực hiện bằng cách:
Trong đó, ¬P(x) là phủ định của mệnh đề P(x).
Phủ định của "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" là "∃x ∈ ℝ, x² < 0".
Phủ định của "∃x ∈ ℤ, x > 0" là "∀x ∈ ℤ, x ≤ 0".
Mệnh đề chứa kí hiệu lượng từ được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học, bao gồm:
Mệnh đề chứa kí hiệu "Với mọi" (∀) và "Tồn tại" (∃) là công cụ quan trọng để diễn đạt và chứng minh các khái niệm toán học một cách chính xác và hiệu quả. Việc nắm vững kiến thức về các kí hiệu này là nền tảng để học tập và nghiên cứu toán học ở các trình độ cao hơn.
