Trong chương trình học toán lớp 10 và 11, việc nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) là vô cùng quan trọng. Những giá trị này xuất hiện thường xuyên trong các bài toán lượng giác, hình học và các lĩnh vực khoa học khác.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách hệ thống và dễ hiểu về quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt này, giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài tập liên quan.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt (bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém (pi ), hơn kém (frac{pi }{2}), …)
1. Lý thuyết
+ Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( - \alpha \)
\(\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \); | \(\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \) |
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \); | \(\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
+ Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({90^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({180^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
Chú ý: Với \(k \in \mathbb{Z}\), ta có:
\(\sin \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\cot \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có
\(\sin A = \sin ({180^ \circ } - A) = \sin (B + C)\)
\(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác \(\sin {570^ \circ },\cos ( - {1035^ \circ }),\tan ({1500^ \circ }).\)
\(\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin ({360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin ({180^ \circ } + {30^ \circ }) = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos ( - {1035^ \circ }) = \cos ( - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }) = \cos ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan ({1500^ \circ }) = \tan ({8.180^ \circ } + {60^ \circ }) = \tan ({60^ \circ }) = \sqrt 3 .\end{array}\)
Lượng giác là một nhánh quan trọng của toán học, nghiên cứu về mối quan hệ giữa các góc và cạnh của tam giác vuông. Các giá trị lượng giác cơ bản bao gồm sin, cos, tan, cot, sec và cosec. Việc hiểu rõ các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và các ứng dụng thực tế.
Các góc đặc biệt thường được nhắc đến trong lượng giác là 0°, 30°, 45°, 60° và 90°. Dưới đây là bảng tổng hợp các giá trị lượng giác của các góc này:
| Góc (°) | Sin | Cos | Tan | Cot |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 180°. Nếu α và β là hai góc bù nhau (α + β = 180°), thì:
Ví dụ: sin 30° = sin 150°, cos 30° = -cos 150°.
Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng bằng 90°. Nếu α và β là hai góc phụ nhau (α + β = 90°), thì:
Ví dụ: sin 30° = cos 60°, cos 30° = sin 60°.
Đường tròn lượng giác là một công cụ hữu ích để hình dung và nhớ các giá trị lượng giác của các góc. Trên đường tròn lượng giác, giá trị sin của một góc được biểu diễn bởi tung độ của điểm tương ứng trên đường tròn, và giá trị cos được biểu diễn bởi hoành độ. Bằng cách quan sát vị trí của các góc đặc biệt trên đường tròn, bạn có thể dễ dàng nhớ được các giá trị lượng giác tương ứng.
Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Việc nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt là một kỹ năng quan trọng trong toán học. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.
