Chương 4. Nguyên hàm và tích phân

Chương 4 trong sách giáo khoa Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: nguyên hàm và tích phân. Đây là những công cụ mạnh mẽ trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng. Công thức tính nguyên hàm cơ bản:

• ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
• ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C

Các tính chất của tích phân bất định:

• ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
• ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx (k là hằng số)

II. Tích phân

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Ký hiệu: ∫_a^b f(x) dx

Định lý cơ bản của tích phân:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).

III. Các phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
2. Phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng khi tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
3. Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để phân tích mẫu số thành nhân tử và áp dụng phương pháp phân số đơn giản.

IV. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, bao gồm:

• Tính diện tích hình phẳng
• Tính thể tích vật thể
• Tính độ dài đường cong
• Tính công thực hiện bởi một lực
• Tính xác suất

Ví dụ minh họa:

Tính tích phân ∫₀¹ x² dx

Nguyên hàm của x² là (x³)/3. Do đó, ∫₀¹ x² dx = [(1³)/3] - [(0³)/3] = 1/3

Chương 4 đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về đạo hàm và các kỹ năng biến đổi đại số. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp.

Giaitoan.edu.vn hy vọng với những kiến thức và bài giải chi tiết này, bạn sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Chúc bạn thành công!