Bài tập 4.32 trang 8 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế hoặc chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.32 trang 8 SGK Toán 12 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} \); b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} \); c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} \); d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} \).
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} \);
d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết
a) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{4x\sqrt x }}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right. = \frac{{{4^4}}}{4} - \frac{{4.4\sqrt 4 }}{3} - \frac{1}{4} + \frac{{4.1\sqrt 1 }}{3} = \frac{{653}}{{12}}\)
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \sin \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. = - \cot \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{6} = - 1 + \sqrt 3 \)
d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} = \int\limits_1^{16} {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)dx} = \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2\sqrt x } \right)\left| \begin{array}{l}16\\1\end{array} \right. = \frac{{2.16\sqrt {16} }}{3} - 2\sqrt {16} - \frac{2}{3} + 2 = 36\)
Bài tập 4.32 trang 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm của hàm số. Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài tập này:
(Giả định đề bài: Cho hàm số y = f(x). Biết f'(x) = 3x2 - 2x + 1 và f(0) = 2. Tìm f(x).)
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về tích phân không xác định. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hàm số nguyên hàm F(x) của f'(x), sau đó sử dụng điều kiện f(0) = 2 để tìm hằng số C.
Ta có: F(x) = ∫f'(x) dx = ∫(3x2 - 2x + 1) dx = x3 - x2 + x + C
Vì f(x) = F(x) + C, nên f(0) = F(0) + C. Thay f(0) = 2 và F(0) = 03 - 02 + 0 + C = C, ta có: 2 = C + C => C = 2.
Vậy, f(x) = x3 - x2 + x + 2.
Vậy, hàm số f(x) cần tìm là f(x) = x3 - x2 + x + 2.
Ngoài bài tập 4.32, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến đạo hàm và tích phân. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) và các đạo hàm cơ bản.
Phương pháp: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, sau đó xét dấu đạo hàm để xác định cực đại, cực tiểu.
Phương pháp: Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2, tìm cực trị, điểm uốn, khoảng đồng biến, nghịch biến, giới hạn và vẽ đồ thị hàm số.
Phương pháp: Xây dựng hàm số mô tả bài toán, tìm đạo hàm và giải phương trình để tìm giá trị tối ưu.
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và tích phân, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Giaitoan.edu.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải và hướng dẫn chi tiết để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| tan x | 1/cos2 x |
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ cách giải bài tập 4.32 trang 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
