Bài tập 4.15 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hàm số.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.15, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) \(y = {e^x},y = {x^2} - 1,x = - 1,x = 1\); b) \(y = \sin x,y = x,x = \frac{\pi }{2},x = \pi \); c) \(y = 9 - {x^2},y = 2{x^2},x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \); d) \(y = \sqrt x ,y = {x^2},x = 0,x = 1\).
Đề bài
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y = {e^x},y = {x^2} - 1,x = - 1,x = 1\);
b) \(y = \sin x,y = x,x = \frac{\pi }{2},x = \pi \);
c) \(y = 9 - {x^2},y = 2{x^2},x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \);
d) \(y = \sqrt x ,y = {x^2},x = 0,x = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết
a) Diện tích hình cần tìm là:
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} - {x^2} + 1} \right)dx} = \left( {{e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.\)
\( = e - \frac{1}{3} + 1 - \left( {\frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1} \right) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}\)
b) Diện tích hình cần tính là:
\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\sin x - x} \right|dx} = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\sin x - x} \right)dx} = \left( {\cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\pi \\\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
\( = \cos \pi + \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{8} = - 1 + \frac{{3{\pi ^2}}}{8}\)
c) Diện tích hình cần tính là:
\(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {9 - {x^2} - 2{x^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( {9 - 3{x^2}} \right)dx} = \left( {9x - {x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}\sqrt 3 \\ - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
\( = 9\sqrt 3 - {\left( {\sqrt 3 } \right)^3} + 9\sqrt 3 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} = 12\sqrt 3 \)
d) Diện tích hình cần tính là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} = \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)
Bài tập 4.15 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần phân tích đề bài một cách cẩn thận để xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này bao gồm việc xác định hàm số cần xét, khoảng giá trị của biến số, và các điều kiện ràng buộc khác.
Sau khi phân tích đề bài, chúng ta cần áp dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết bài toán. Điều này có thể bao gồm việc tính đạo hàm của hàm số, tìm điểm cực trị, và xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
(Nội dung lời giải chi tiết bài tập 4.15 sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước giải cụ thể, các công thức sử dụng, và các giải thích rõ ràng để học sinh dễ hiểu.)
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa cụ thể. Ví dụ này sẽ cho thấy cách áp dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán tương tự.
Sau khi đã hiểu rõ cách giải bài tập 4.15, chúng ta sẽ xem xét một số bài tập tương tự để học sinh có thể luyện tập và củng cố kiến thức. Các bài tập này sẽ có độ khó khác nhau, từ dễ đến khó, để đáp ứng nhu cầu của mọi học sinh.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong việc tính vận tốc, gia tốc, tối ưu hóa các bài toán kinh tế, và phân tích các hiện tượng vật lý. Việc hiểu rõ về đạo hàm sẽ giúp học sinh có thể áp dụng kiến thức này vào giải quyết các vấn đề thực tế.
Bài tập 4.15 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ có thể tự tin giải quyết bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| y = c (c là hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sinx | y' = cosx |
| y = cosx | y' = -sinx |
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các bạn học tập tốt!
