Bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.19, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31). a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \). b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.
Đề bài
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).
a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \).
b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(AB = a\tan \alpha \). Khi quay tam giác AOB quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = AB = a\tan \alpha \) và chiều cao \(h = OA = a\).
Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .a.{a^2}{\tan ^2}\alpha = \frac{1}{3}\pi .{a^3}{\tan ^2}\alpha \) .
b) Theo a ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).
Ta có: \(V' = \frac{2}{3}\pi {a^3}\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Với \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < \tan \alpha < 1\). Do đó, \(V' > 0\) nên hàm số V đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).
Vậy giá trị lớn nhất của V là \(\frac{1}{3}\pi {a^3}\) khi \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).
Bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Bài tập 4.19 thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số, hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Giả sử bài tập 4.19 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 trên khoảng [-1; 3].
Giải:
| x | -1 | 0 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | 9 | 0 | -6 | 9 |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Để hiểu rõ hơn về các kiến thức liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
