Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaitoan.edu.vn. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 19, 20, 21 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp cho các em những phương pháp giải bài tập hiệu quả nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\int\limits_1^4 {\left| {x - \sqrt x - 2} \right|dx} = - \int\limits_1^4 {\left( {x - \sqrt x - 2} \right)dx} = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right.\)
\( = - \left( {\frac{{{4^2}}}{2} - \frac{{2.4\sqrt 4 }}{3} - 2.4 - \frac{1}{2} + \frac{{2.1.\sqrt 1 }}{3} + 2.1} \right) = \frac{{19}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right) = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 2,x = 1\) (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, \(AD = 1,DE = 1,AC = 2,CB = 2\)
Diện tích S của hình phẳng là:
\(S = {S_{\Delta EAD}} + {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AD.DE + \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} } \)
\( = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1 - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} + 2} \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x,\) \(g\left( x \right) = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) (H.4.16)
a) Giả sử \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\). Tính \({S_1}\), \({S_2}\) và từ đó suy ra S.
b) Tính \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)
Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)
\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)
Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) (H.4.15).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)
\( = - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right. = - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 4.2} \right) + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - 4.3 - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right) = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_o};{p_o}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(p = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung: \(p = 0,14x + 2\), trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung \(p = 0,14x + 2\)
Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:
\( - 0,36x + 9 = 0,14x + 2\), suy ra \(x = 14\) nên \(p = - 0,36.14 + 9 = \frac{{99}}{{25}}\). Do đó, \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\)
Đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm N(0 ;9)
Đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm P(0; 2)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 9} \right)dx} = \left( { - 0,18{x^2} + 9x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)
\( = - 0,{18.14^2} + 9.14 = 90,72\)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là:
\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {0,14x + 2} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( {0,14x + 2} \right)dx} = \left( {0,07{x^2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)\( = 0,{07.14^2} + 2.14 = 41,72\)
Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là: \({S_1} - OQ.QM = 90,72 - 14.\frac{{99}}{{25}} = 35,28\)
Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là: \(OQ.QM - {S_2} = 14.\frac{{99}}{{25}} - 41,72 = 13,72\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right) = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 2,x = 1\) (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, \(AD = 1,DE = 1,AC = 2,CB = 2\)
Diện tích S của hình phẳng là:
\(S = {S_{\Delta EAD}} + {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AD.DE + \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} } \)
\( = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1 - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} + 2} \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) (H.4.15).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)
\( = - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right. = - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 4.2} \right) + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - 4.3 - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right) = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x,\) \(g\left( x \right) = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) (H.4.16)
a) Giả sử \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\). Tính \({S_1}\), \({S_2}\) và từ đó suy ra S.
b) Tính \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)
Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)
\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)
Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\int\limits_1^4 {\left| {x - \sqrt x - 2} \right|dx} = - \int\limits_1^4 {\left( {x - \sqrt x - 2} \right)dx} = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right.\)
\( = - \left( {\frac{{{4^2}}}{2} - \frac{{2.4\sqrt 4 }}{3} - 2.4 - \frac{1}{2} + \frac{{2.1.\sqrt 1 }}{3} + 2.1} \right) = \frac{{19}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_o};{p_o}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(p = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung: \(p = 0,14x + 2\), trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung \(p = 0,14x + 2\)
Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:
\( - 0,36x + 9 = 0,14x + 2\), suy ra \(x = 14\) nên \(p = - 0,36.14 + 9 = \frac{{99}}{{25}}\). Do đó, \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\)
Đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm N(0 ;9)
Đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm P(0; 2)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 9} \right)dx} = \left( { - 0,18{x^2} + 9x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)
\( = - 0,{18.14^2} + 9.14 = 90,72\)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là:
\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {0,14x + 2} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( {0,14x + 2} \right)dx} = \left( {0,07{x^2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)\( = 0,{07.14^2} + 2.14 = 41,72\)
Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là: \({S_1} - OQ.QM = 90,72 - 14.\frac{{99}}{{25}} = 35,28\)
Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là: \(OQ.QM - {S_2} = 14.\frac{{99}}{{25}} - 41,72 = 13,72\)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, đơn điệu và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp. Cần nắm vững các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và các hàm số đặc biệt khác.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính đạo hàm bậc hai của hàm số, tức là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất. Điều này đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác trong quá trình tính toán.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, tối ưu hóa và các bài toán thực tế khác. Đây là phần bài tập giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong cuộc sống.
Ví dụ: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 3t2 - 6t + 2 (m/s). Tính gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây.
Để giải các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, học sinh cần:
Khi giải các bài tập về đạo hàm, cần chú ý đến các điểm sau:
| Hàm số y | Đạo hàm y' |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sin(x) | y' = cos(x) |
| y = cos(x) | y' = -sin(x) |
| y = ex | y' = ex |
| y = ln(x) | y' = 1/x |
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả mà giaitoan.edu.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán về đạo hàm. Chúc các em học tốt!
