Chương VII. Đạo hàm

Chương VII. Đạo hàm - SGK Toán 11: Tổng quan và hướng dẫn giải chi tiết

Chương VII. Đạo hàm trong SGK Toán 11 tập 2 là một chương quan trọng, đặt nền móng cho việc học tập các kiến thức giải tích nâng cao hơn. Chương này giới thiệu khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải các bài toán thực tế.

1. Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0. Công thức tính đạo hàm:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

2. Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f'(x₀) biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Ý nghĩa vật lý: Trong vật lý, đạo hàm biểu thị vận tốc tức thời của một vật chuyển động. Nếu hàm số f(t) biểu thị quãng đường đi được của vật tại thời điểm t, thì đạo hàm f'(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

3. Các quy tắc tính đạo hàm

Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm sau:

• Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
• Quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tan x)' = 1/cos²x
• Quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và logarit: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x
• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số
• Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

4. Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

• Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, giúp xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
• Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm giúp xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số, giúp vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
• Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để giải các bài toán tối ưu hóa, giúp tìm ra giá trị tối ưu của một đại lượng nào đó.
• Tính gần đúng giá trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm nào đó.

5. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1

Giải: f'(x) = 6x + 2

Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x)

Giải: y' = 2cos(2x)

6. Lời khuyên khi học chương Đạo hàm

Để học tốt chương Đạo hàm, các em cần:

• Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
• Hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt.
• Luyện tập giải nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm giải toán.

giaitoan.edu.vn hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ học tốt chương VII. Đạo hàm và đạt kết quả cao trong kỳ thi. Chúc các em thành công!