Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài học này thuộc chương trình Toán 11 tập 2, tập trung vào các kiến thức về phép biến hình, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\). Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\). Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghia đạo hàm để tính đạo hàm
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x - {x_0}).(x + {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0}\)
Chứng minh đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
Lời giải chi tiết:
Với mọi \({x_0} \in (0; + \infty )\) ta có :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{(\sqrt x - \sqrt {{x_0}} ).(\sqrt x + \sqrt {{x_0}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)
Suy ra \(y'({x_0}) = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) trên khoảng \((0; + \infty )\) là \({y'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 2 tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về phép biến hình. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm hình học và ứng dụng của chúng trong thực tế.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản của phép biến hình:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 2:
Đề bài: Cho hình vuông ABCD. Xác định phép biến hình biến A thành B, B thành C, C thành D, D thành A.
Lời giải: Phép biến hình cần tìm là phép quay tâm O (giao điểm hai đường chéo) góc 90 độ.
Đề bài: Cho điểm M(2, 3) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (1, -2). Tìm ảnh M' của M qua phép tịnh tiến đó.
Lời giải: M' = M + v = (2+1, 3-2) = (3, 1).
Đề bài: Chứng minh rằng hai tam giác đối xứng qua một đường thẳng có diện tích bằng nhau.
Lời giải: Gọi hai tam giác là ABC và A'B'C' đối xứng qua đường thẳng d. Do tính chất đối xứng, AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A'. Vậy, diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác A'B'C'.
Các phép biến hình không chỉ có ý nghĩa trong việc giải các bài toán hình học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:
Việc nắm vững kiến thức về phép biến hình là nền tảng quan trọng để học tốt môn Toán 11 và các môn học liên quan. Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập và hiểu sâu hơn về ứng dụng của phép biến hình trong thực tế.
| Phép Biến Hình | Đặc Điểm | Ứng Dụng |
|---|---|---|
| Tịnh Tiến | Bảo toàn khoảng cách | Di chuyển vật thể |
| Quay | Xung quanh một tâm | Tạo hình tròn, xoay vật thể |
| Đối Xứng Trục | Đối xứng qua một đường thẳng | Tạo hình đối xứng |
| Đối Xứng Tâm | Đối xứng qua một điểm | Tạo hình đối xứng |
