Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai trong chương trình SGK Toán 11 tại giaitoan.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về đạo hàm cấp hai, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, ý nghĩa, cách tính đạo hàm cấp hai, và các ứng dụng thực tế của nó trong việc phân tích hàm số và giải quyết các bài toán tối ưu hóa.
A. Lý thuyết 1. Đạo hàm cấp hai
A. Lý thuyết
1. Đạo hàm cấp hai
| Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với mọi \(x \in (a;b)\). Nếu hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x). |
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
| Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t), tức là a(t) = s’’(t). |
B. Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} + \ln x\).
b) \(y = {\sin ^2}x\).
Giải:
a) Với x = 0, ta có \(y' = 4{x^3} + \frac{1}{x}\); \(y'' = \left( {4{x^3} + \frac{1}{x}} \right)' = 12{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\).
b) \(y' = 2\sin x\cos x = \sin 2x\); \(y'' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x\).
Bài 2: Một vật chuyển động thẳng với phương trình \(s(t) = {t^3} + t\). Tính gia tốc của vật chuyển động thẳng tại các thời điểm \({t_1} = 2\) và \({t_2} = 3\). Ở thời điểm nào trong hai thời điểm trên, vật tăng tốc nhanh hơn?
Giải:
Ta có \(s'(t) = 3{t^2} + 1\), \(a(t) = s''(t) = 6t\).
\(a({t_1}) = a(2) = 12\) (m/s); \(a({t_2}) = a(3) = 18\) (m/s).
Vì \(a({t_2}) > a({t_1})\) nên tại thời điểm \({t_2} = 3\) vật tăng tốc nhanh hơn.
Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của một hàm số. Nó cung cấp thông tin quan trọng về độ cong của đồ thị hàm số và tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của f'(x). Tức là:
f''(x) = (f'(x))'
Nếu f''(x) tồn tại tại một điểm x0, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai tại x0.
Đạo hàm cấp hai có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích tính chất của hàm số:
Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất:
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai:
y'' = 6x - 6
Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x).
Bài 2: Tìm khoảng lồi, lõm của hàm số y = x4 - 2x2 + 1.
Bài 3: Xác định điểm uốn của hàm số y = x3 - 6x2 + 9x + 1.
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
| Hàm số | Đạo hàm cấp nhất (f'(x)) | Đạo hàm cấp hai (f''(x)) |
|---|---|---|
| y = x2 | y' = 2x | y'' = 2 |
| y = cos(x) | y' = -sin(x) | y'' = -cos(x) |
| y = ex | y' = ex | y'' = ex |
