Bài 7.14 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về các khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 7.14 trang 50 SGK Toán 11 tập 2, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hảm của các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hảm của các hàm số sau:
a) \(y = {3^x} + {\log _3}x\)
b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\)
c) \(y = {\left( {3{x^2} - x} \right)^5}\)
d) \(y = {e^{\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\frac{1}{{x\ln a}}\)
b) Áp dụng công thức \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\)
c) Áp dụng công thức \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\)
d) Áp dụng công thức \(\left( {{e^u}} \right)' = {e^u}.u'\); \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' = \left( {{3^x} + {{\log }_3}x} \right)' = {3^x}\ln 3 + \frac{1}{{x\ln 3}}\)
b) \(y' = {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}} \right)^,} = \frac{{\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)'.\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)'.\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
c) \(y' = 5.{\left( {3{x^2} - x} \right)^4}.\left( {3{x^2} - x} \right)' = \left( {30x - 5} \right).{\left( {3{x^2} - x} \right)^4}\)
d) \(y' = {e^{\sqrt {{x^2} + 2} }}.\sqrt {{x^2} + 2} ' = {e^{\sqrt {{x^2} + 2} }}.\frac{{\left( {{x^2} + 2} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }} = {e^{\sqrt {{x^2} + 2} }}.\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }} = {e^{\sqrt {{x^2} + 2} }}.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\)
Bài 7.14 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng nào đó bằng cách sử dụng đạo hàm. Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước sao cho chu vi nhỏ nhất. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x và y. Diện tích của hình chữ nhật là xy = S (S là hằng số). Chu vi của hình chữ nhật là P = 2(x + y). Ta cần tìm x và y sao cho P nhỏ nhất.
Từ xy = S, ta có y = S/x. Thay vào công thức tính chu vi, ta được P = 2(x + S/x). Đạo hàm của P theo x là P' = 2(1 - S/x^2). Giải phương trình P' = 0, ta được x^2 = S, suy ra x = √S (vì x > 0). Khi đó, y = S/√S = √S. Vậy, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh bằng √S.
Để nắm vững phương pháp giải các bài toán tối ưu hóa, học sinh cần luyện tập thường xuyên và hiểu rõ các khái niệm đạo hàm, cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, phong phú, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng, học sinh có thể tự tin giải Bài 7.14 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
| STT | Nội dung | Ghi chú |
|---|---|---|
| 1 | Xác định hàm số | Biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa |
| 2 | Tìm tập xác định | Đảm bảo hàm số có nghĩa |
| 3 | Tính đạo hàm | Đạo hàm bậc nhất |
| 4 | Tìm điểm dừng | Giải phương trình đạo hàm = 0 |
| 5 | Khảo sát dấu đạo hàm | Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến |
