Bài 7.13 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về đạo hàm, cực trị hàm số và cách xác định điều kiện để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 7.13 trang 50 SGK Toán 11 tập 2, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hàm của hàm số sau bằng định nghĩa:
Đề bài
Tính đạo hàm của hàm số sau bằng định nghĩa:
a, \(y = - {x^2}\) tại \({x_0} = 2\)
b, \(y = \frac{1}{{x + 2}}\) tại \({x_0} = - 3\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm
Lời giải chi tiết
a, Ta có:
\(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - {x^2} - ( - {2^2})}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - {x^2} + 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - (x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} - (x + 2) = - 4\).
b, Ta có:
\(f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{5}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3 - x}}{{(x - 3).5.(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{5.(x + 2)}} = \frac{{ - 1}}{{25}}\).
Bài 7.13 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 thường yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán tối ưu hóa, ví dụ như tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật để có thể tích lớn nhất với một diện tích bề mặt cho trước, hoặc tìm giá trị của một biến số để một hàm số đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Bước đầu tiên để giải quyết bài toán tối ưu hóa là phân tích đề bài để xác định rõ các yếu tố đầu vào và đầu ra. Sau đó, cần xây dựng hàm số mục tiêu, biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa (ví dụ: thể tích, diện tích, chi phí) theo các biến số đầu vào.
Sau khi có hàm số mục tiêu, ta sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số. Cụ thể, ta tính đạo hàm bậc nhất của hàm số, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng. Sau đó, ta xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định xem các điểm dừng là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm uốn.
Sau khi tìm được các điểm cực trị, ta cần kiểm tra xem các điểm này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật, ta cần đảm bảo rằng các kích thước này đều dương.
Cuối cùng, ta chọn ra điểm cực trị thỏa mãn các điều kiện của bài toán và kết luận về giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số mục tiêu. Khi trình bày lời giải, cần viết rõ ràng, logic và giải thích đầy đủ các bước thực hiện.
Giả sử một người nông dân muốn xây dựng một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m2. Người nông dân muốn sử dụng ít vật liệu nhất có thể để xây dựng chuồng trại. Hỏi chuồng trại nên có kích thước như thế nào?
Khi giải các bài toán tối ưu hóa, cần chú ý đến các điều kiện của bài toán và đảm bảo rằng các giá trị tìm được thỏa mãn các điều kiện đó. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Giaitoan.edu.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải Bài 7.13 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
