Chương V. Đại số tổ hợp

Chương V: Đại số tổ hợp - SGK Toán 10 Cánh diều Tập 2

Chương V trong sách giáo khoa Toán 10 Cánh diều Tập 2 tập trung vào Đại số tổ hợp, một lĩnh vực quan trọng trong toán học, cung cấp các công cụ để đếm số lượng các cấu trúc và sắp xếp khác nhau. Chương này bao gồm các khái niệm cơ bản như quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

1. Quy tắc cộng và Quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là nền tảng của Đại số tổ hợp. Quy tắc cộng được sử dụng khi có nhiều cách để thực hiện một hành động, và tổng số cách thực hiện là tổng số cách của từng phương pháp. Quy tắc nhân được sử dụng khi các hành động được thực hiện liên tiếp, và tổng số cách thực hiện là tích số cách của từng hành động.

Quy tắc cộng: Nếu có m cách thực hiện công việc A và n cách thực hiện công việc B, thì có m + n cách thực hiện hoặc A hoặc B.
Quy tắc nhân: Nếu có m cách thực hiện công việc A và n cách thực hiện công việc B sau khi đã thực hiện công việc A, thì có m x n cách thực hiện cả A và B.

2. Hoán vị

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

3. Chỉnh hợp

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp n phần tử. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức A_n^k = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 10 học sinh để làm ban cán sự lớp (chủ nhiệm và lớp phó)?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₁₀² = 10! / (10 - 2)! = 10! / 8! = 10 x 9 = 90

4. Tổ hợp

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức C_n^k = n! / (k! * (n - k)!).

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

5. Ứng dụng của Đại số tổ hợp

Đại số tổ hợp có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Xác suất thống kê: Tính xác suất của các sự kiện.
Khoa học máy tính: Thiết kế thuật toán và cấu trúc dữ liệu.
Vật lý: Tính toán số lượng các trạng thái có thể có của một hệ thống.
Hóa học: Tính toán số lượng các phân tử có thể được tạo ra từ các nguyên tử khác nhau.

Bài tập vận dụng

Để hiểu rõ hơn về các khái niệm trong chương V, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 quả bóng bất kỳ?
Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên muốn chọn ra 5 cầu thủ để đá phạt. Có bao nhiêu cách chọn?

Chương V Đại số tổ hợp là một phần quan trọng của chương trình Toán 10. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học tiếp theo. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ khi cần thiết để đạt được kết quả tốt nhất.