Lý thuyết Nhị thức Newton là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là sách Cánh diều. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán về khai triển nhị thức một cách hiệu quả.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập có đáp án để bạn có thể tự học và ôn luyện một cách tốt nhất.
A. Lý thuyết 1. Một số công thức khai triển
A. Lý thuyết
1. Một số công thức khai triển
\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}\). |
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\) \( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\). |
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5.
2. Công thức khai triển tổng quát
| \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\). |
Nhận xét:
- Số hạng tổng quát trong khai triển của \({(a + b)^n}\) đều có dạng \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) \((0 \le k \le n)\).
- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của \({(a - b)^n}\) như sau:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.
Ví dụ: \({(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}\).
Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.
B. Bài tập
Bài 1: Khai triển biểu thức \({(x + 1)^4}\).
Giải:
Xác định số hạng: a = x, b = 1.
\({(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} = {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
Bài 2: Khai triển biểu thức \({(x - 1)^4}\).
Giải:
Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.
Nếu coi a = x, b = -1:
\({(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} = {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).
Bài 3:
a) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).
b) Khai triển biểu thức \({(3x - y)^5}\).
Giải:
a) Coi a = x, b = -2y.
\({(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)
\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).
Số hạng chứa \({y^4}\) là \(16{y^4}\), hệ số là 16.
b) Coi a = 3x, b = -y.
\({(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}\)
\( = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)
\( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}\).
Bài 4:
a) Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^{12}}\).
b) Xác định hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^{18}}\).
Giải:
a) Số hạng chứa \({x^6}\) là \(C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}\). Hệ số của \({x^6}\) là \(C_{12}^6{.2^6}\).
b) Số hạng chứa \({x^9}\) là \(C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} = - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}\). Hệ số của \({x^9}\) là \( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} = - C_{18}^9{.6^9}\).
Lý thuyết Nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả, đặc biệt khi n là một số nguyên dương lớn. Trong chương trình Toán 10 Cánh diều, lý thuyết này được trình bày một cách hệ thống và có nhiều ứng dụng thực tế.
Lý thuyết Nhị thức Newton phát biểu rằng:
(a + b)^n = Cn0anb0 + Cn1an-1b1 + Cn2an-2b2 + ... + Cnna0bn
Trong đó:
Hệ số nhị thức Cnk đóng vai trò quan trọng trong khai triển Nhị thức Newton. Chúng có thể được tính trực tiếp bằng công thức hoặc thông qua Tam giác Pascal.
Tam giác Pascal là một công cụ trực quan để tìm hệ số nhị thức. Mỗi hàng của Tam giác Pascal bắt đầu và kết thúc bằng 1, và mỗi số bên trong là tổng của hai số phía trên nó.
| n | Hệ số |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1, 1 |
| 2 | 1, 2, 1 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 |
Lý thuyết Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Dưới đây là một số ví dụ về bài tập vận dụng lý thuyết Nhị thức Newton từ SGK Toán 10 Cánh diều:
Để học tập và ôn thi hiệu quả lý thuyết Nhị thức Newton, bạn nên:
Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến Lý thuyết Nhị thức Newton bao gồm:
Lý thuyết Nhị thức Newton là một công cụ quan trọng trong toán học, giúp chúng ta giải quyết các bài toán về khai triển nhị thức một cách hiệu quả. Việc nắm vững lý thuyết này là rất cần thiết để đạt kết quả tốt trong môn Toán 10 Cánh diều.
