Chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chương 3 trong sách Toán 11 Cánh Diều tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững kiến thức trong chương này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học tập môn Toán ở các lớp trên mà còn là nền tảng cho nhiều lĩnh vực khoa học khác.

I. Giới hạn của hàm số

1. Khái niệm giới hạn: Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Khái niệm này được biểu diễn bằng ký hiệu lim_x→a f(x) = L, trong đó f(x) là hàm số, a là điểm tiến tới, và L là giới hạn của hàm số tại điểm a.

2. Các loại giới hạn:

Giới hạn hữu hạn: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới một giá trị hữu hạn L.
Giới hạn vô cực: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới vô cực (+∞ hoặc -∞).
Giới hạn ở vô cực: Khi x tiến tới vô cực, f(x) tiến tới một giá trị hữu hạn L hoặc vô cực.

3. Tính chất của giới hạn: Giới hạn của một tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm số bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn tương ứng.

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(x₀) xác định.
lim_x→x₀ f(x) tồn tại.
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục: Các hàm số đa thức, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác (trừ các điểm gián đoạn) đều là các hàm số liên tục trên miền xác định của chúng.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính giới hạn lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1

Giải:

f(1) = 1² = 1

lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1

lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1

Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Ứng dụng của giới hạn và tính liên tục

Giới hạn và tính liên tục là những khái niệm cơ bản trong giải tích, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:

Tính đạo hàm: Đạo hàm của một hàm số tại một điểm được định nghĩa thông qua giới hạn.
Tính tích phân: Tích phân của một hàm số được định nghĩa thông qua tổng các giới hạn.
Giải các bài toán vật lý: Giới hạn và tính liên tục được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý như vận tốc, gia tốc, lực, năng lượng.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập minh họa trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan và hiểu rõ hơn về Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục trong sách Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!