Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 73, 74, 75 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Quan sát đồ thị hàm số (fleft( x right) = x) ở Hình 11. a) Tính (mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right).) b) So sánh (mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right)) với (fleft( 1 right).)
Quan sát đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = x\) ở Hình 11.
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\)
b) So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) với \(f\left( 1 \right).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1\)
b) \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 1\) tại \({x_0} = 1.\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = {1^3} + 1 = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} + 1 = 1 + 1 = 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}.\)
a) Giả sử \({x_0} \in \mathbb{R}.\) Hàm số \(f\left( x \right)\) có liên tục tại điểm \({x_0}\) hay không?
b) Quan sát đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\) (Hình 13), nếu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x + 1 = {x_0} + 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}.\)
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị \(x \in \mathbb{R}.\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 1,\,\,x < 2\\ - x,\,\,x \ge 2\end{array} \right.\) có liên tục trên \(\mathbb{R}\) hay không?
Phương pháp giải:
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)
Lời giải chi tiết:
+) Với mỗi \({x_0} \in \left( { - \infty ;2} \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - 1} \right) = {x_0} - 1 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} \in \left( { - \infty ;2} \right).\)
+) Với mỗi \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x} \right) = - {x_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right).\)
+) Với mỗi \({x_0} = 2\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 2 - 1 = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - x} \right) = - 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \({x_0} = 2\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và tích phân trong các chương tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải bài tập trong mục này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp hơn.
Bài 1: Bài tập này yêu cầu học sinh tính giới hạn của một hàm số tại một điểm. Để giải bài tập này, học sinh cần áp dụng định nghĩa giới hạn và các tính chất của giới hạn. Ví dụ, nếu hàm số f(x) = x^2, thì giới hạn của f(x) khi x tiến tới 2 là f(2) = 4.
Bài 2: Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh một giới hạn. Để chứng minh một giới hạn, học sinh cần sử dụng định nghĩa giới hạn và các tính chất của giới hạn. Ví dụ, để chứng minh lim (x -> 0) sin(x)/x = 1, học sinh có thể sử dụng định lý kẹp.
Bài 3: Bài tập này yêu cầu học sinh giải một bài toán ứng dụng. Để giải bài toán ứng dụng, học sinh cần phân tích bài toán, xác định các đại lượng liên quan và sử dụng kiến thức về giới hạn để giải quyết bài toán.
Bài 4: Bài tập này tập trung vào việc tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng. Học sinh cần nắm vững các quy tắc tính giới hạn của hàm đa thức, hàm phân thức khi x tiến tới vô cùng.
Bài 5: Bài tập này yêu cầu học sinh xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Học sinh cần hiểu rõ điều kiện để một hàm số liên tục tại một điểm và áp dụng vào giải bài tập.
Bài 6: Bài tập này kết hợp kiến thức về giới hạn và tính liên tục để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Học sinh cần rèn luyện kỹ năng phân tích và tổng hợp kiến thức để giải quyết bài tập một cách hiệu quả.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi học tập và giải bài tập mục 1 trang 73, 74, 75 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc các em học tốt!