Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Cánh Diều, tập trung vào việc giải các bài toán liên quan đến giới hạn của hàm số. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn cơ bản.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 79, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}); b) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}});
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp:
- Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b.
- Câu c, d: \(\sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x,x \to + \infty \\ - x,x \to - \infty \end{array} \right.\)
- Câu d, e sử dụng giới hạn cơ bản sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \)
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{6}{5}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{8}{x}}}{{5 - \frac{2}{x}}} = \frac{6}{5}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{3} = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{3}{3} = 1\).
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = - \infty \)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{2x + 4}} = - \infty \)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = + \infty \).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{1}{{2x + 4}} = + \infty \)
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn đã học. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:
x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Do đó:
limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2)
Rút gọn (x - 2) ở tử và mẫu, ta được:
limx→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1
Vậy, limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = 1
Tương tự như phần a, ta phân tích tử thức:
x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Do đó:
limx→3 (x2 - 9) / (x - 3) = limx→3 (x - 3)(x + 3) / (x - 3)
Rút gọn (x - 3) ở tử và mẫu, ta được:
limx→3 (x + 3) = 3 + 3 = 6
Vậy, limx→3 (x2 - 9) / (x - 3) = 6
Ta có thể sử dụng công thức hiệu hai lập phương:
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
Do đó:
limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = limx→1 (x - 1)(x2 + x + 1) / (x - 1)
Rút gọn (x - 1) ở tử và mẫu, ta được:
limx→1 (x2 + x + 1) = 12 + 1 + 1 = 3
Vậy, limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = 3
Luôn kiểm tra xem biểu thức có dạng vô định (0/0 hoặc ∞/∞) hay không trước khi áp dụng các phương pháp tính giới hạn.
Sử dụng các công thức phân tích đa thức, công thức hiệu hai lập phương, tổng hai lập phương để đơn giản hóa biểu thức.
Áp dụng các tính chất của giới hạn như giới hạn của một tổng, hiệu, tích, thương.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị x tiến tới giá trị giới hạn vào biểu thức ban đầu.
Kiến thức về giới hạn là nền tảng quan trọng cho việc học các khái niệm nâng cao hơn trong Toán học như đạo hàm, tích phân, và các ứng dụng của chúng trong Vật lý, Kinh tế, và các lĩnh vực khác.
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về sự biến đổi của hàm số và các hiện tượng liên tục trong thế giới thực.
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
