Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về hàm số liên tục, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện, các tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục. Giaitoan.edu.vn cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập tốt nhất với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu.
I. Khái niệm
I. Khái niệm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\), \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
III. Một số định lí cơ bản
1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích. Hiểu rõ về hàm số liên tục là nền tảng để học các khái niệm nâng cao hơn như đạo hàm, tích phân và ứng dụng của chúng.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b).
Các hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng sau:
Một số hàm số thường gặp được coi là liên tục trên tập xác định của chúng:
Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Xét hàm số f(x) = x2 + 1. Hàm số này là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực. Điều này có nghĩa là tại bất kỳ điểm nào x0, ta luôn có limx→x0f(x) = f(x0).
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết hàm số liên tục, bạn nên làm các bài tập trong SGK Toán 11 Cánh Diều. Các bài tập này sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức đã học.
Lý thuyết hàm số liên tục là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn học tốt các kiến thức tiếp theo và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Giaitoan.edu.vn hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc học toán.
| Khái niệm | Mô tả |
|---|---|
| Hàm số liên tục tại x0 | Thỏa mãn 3 điều kiện: f(x0) xác định, limx→x0 f(x) tồn tại, limx→x0 f(x) = f(x0) |
| Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) | Liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) |
