Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Cánh Diều, tập trung vào việc giải các bài toán liên quan đến giới hạn của hàm số. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về khái niệm giới hạn, các tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\); c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}\).
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí về phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)
Đối với câu b,c (dạng \(\frac{0}{0}\)): phân tích đa thức thành nhân tử để triệt tiêu giới hạn dạng \(\frac{0}{0}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right) = 4.{\left( { - 3} \right)^2} - 5.\left( { - 3} \right) + 6 = 57\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 1} \right) = 2.2 - 1 = 3\)
c) \(\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\\ = \frac{1}{{\left( {\sqrt 4 + 2} \right)\left( {4 + 4} \right)}} = \frac{1}{{32}}\end{array}\)
Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn đã học.
Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:
x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Do đó:
limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1)
Thay x = 2 vào biểu thức, ta được:
limx→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1
Vậy, limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = 1
Tương tự như phần a, ta phân tích tử thức:
x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Do đó:
limx→3 (x2 - 9) / (x - 3) = limx→3 (x - 3)(x + 3) / (x - 3) = limx→3 (x + 3)
Thay x = 3 vào biểu thức, ta được:
limx→3 (x + 3) = 3 + 3 = 6
Vậy, limx→3 (x2 - 9) / (x - 3) = 6
Ta phân tích tử thức bằng công thức hiệu hai lập phương:
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
Do đó:
limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = limx→1 (x - 1)(x2 + x + 1) / (x - 1) = limx→1 (x2 + x + 1)
Thay x = 1 vào biểu thức, ta được:
limx→1 (x2 + x + 1) = 12 + 1 + 1 = 3
Vậy, limx→1 (x3 - 1) / (x - 1) = 3
Để tính giới hạn này, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp:
limx→0 (√x + 1 - 1) / x = limx→0 (√x + 1 - 1) / x * ((√x + 1) + 1) / ((√x + 1) + 1)
= limx→0 (x + 1 - 1) / (x * (√x + 1 + 1)) = limx→0 x / (x * (√x + 2))
= limx→0 1 / (√x + 2)
Thay x = 0 vào biểu thức, ta được:
limx→0 1 / (√x + 2) = 1 / (√0 + 2) = 1/2
Vậy, limx→0 (√x + 1 - 1) / x = 1/2
Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp tính giới hạn là rất cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều và tự tin giải các bài tập tương tự.
