Dạng 6 trong Chủ đề 6 Ôn hè Toán 6 tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng nhận diện và tìm quy luật của các dãy phân số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến dãy phân số.
Phát hiện quy luật của dãy số
Phát hiện quy luật của dãy số
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 3 \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{6}{{1.7}} + \dfrac{6}{{7.13}} + \dfrac{6}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{6}{{2013.2019}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}} + \ldots + \dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{2018}}{{2019}}\end{array}\)
\( \Rightarrow 3C = \dfrac{{2018}}{{2019}} \Rightarrow C = \dfrac{{2018}}{{2019}}:3 = \dfrac{{2018}}{{2019}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{2018}}{{6057}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = 7 \cdot \dfrac{8}{8} \cdot \left( {\dfrac{1}{{1.9}} + \dfrac{1}{{9.17}} + \dfrac{1}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{8}{{1.9}} + \dfrac{8}{{9.17}} + \dfrac{8}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{8}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{17}} - \dfrac{1}{{25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{{2019}}{{2019}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{2018}}{{2019}} = \dfrac{{7.1009}}{{4.2019}} = \dfrac{{7063}}{{8076}}\end{array}\)
Vậy \(D = \dfrac{{7063}}{{8076}}.\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.3}}{{1.4}} + \dfrac{{3.3}}{{4.7}} + \dfrac{{3.3}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{3.3}}{{2017.2020}}\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{3}{{2017.2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \ldots + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{{2020}}{{2020}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \dfrac{{2019}}{{2020}} = \dfrac{{6057}}{{2020}}\end{array}\)
Vậy \(E = \dfrac{{6057}}{{2020}} \cdot \)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Ta xét:
\(\dfrac{2}{{1.2.3}} = \dfrac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \dfrac{3}{{1.2.3}} - \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}\)
\(\dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \dfrac{4}{{2.3.4}} - \dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}\)
\(........\)
\(\dfrac{2}{{18.19.20}} = \dfrac{{20 - 18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{{20}}{{18.19.20}} - \dfrac{{18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
\( \Rightarrow 2F = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \dfrac{2}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{3.4}} - \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{19.10 - 1}}{{19.20}} = \dfrac{{190 - 1}}{{380}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{{189}}{{380}}:2 = \dfrac{{189}}{{380}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{189}}{{760}}\)
Vậy \(F = \dfrac{{189}}{{760}} \cdot \)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Phương pháp
Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát:
\(A = \dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}\)\( \Rightarrow A.a = a\left( {\dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{1}{a} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^{n - 1}}}}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\).
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\) \( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2B = 2.1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 3 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B - B = 2 - \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}}\);
Vậy \(B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}} \cdot \)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Phương pháp
+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.
+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:
\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)
\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)
\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)
Phát hiện quy luật của dãy số
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 3 \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{6}{{1.7}} + \dfrac{6}{{7.13}} + \dfrac{6}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{6}{{2013.2019}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}} + \ldots + \dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{2018}}{{2019}}\end{array}\)
\( \Rightarrow 3C = \dfrac{{2018}}{{2019}} \Rightarrow C = \dfrac{{2018}}{{2019}}:3 = \dfrac{{2018}}{{2019}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{2018}}{{6057}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = 7 \cdot \dfrac{8}{8} \cdot \left( {\dfrac{1}{{1.9}} + \dfrac{1}{{9.17}} + \dfrac{1}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{8}{{1.9}} + \dfrac{8}{{9.17}} + \dfrac{8}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{8}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{17}} - \dfrac{1}{{25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{{2019}}{{2019}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{2018}}{{2019}} = \dfrac{{7.1009}}{{4.2019}} = \dfrac{{7063}}{{8076}}\end{array}\)
Vậy \(D = \dfrac{{7063}}{{8076}}.\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.3}}{{1.4}} + \dfrac{{3.3}}{{4.7}} + \dfrac{{3.3}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{3.3}}{{2017.2020}}\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{3}{{2017.2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \ldots + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{{2020}}{{2020}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \dfrac{{2019}}{{2020}} = \dfrac{{6057}}{{2020}}\end{array}\)
Vậy \(E = \dfrac{{6057}}{{2020}} \cdot \)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Ta xét:
\(\dfrac{2}{{1.2.3}} = \dfrac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \dfrac{3}{{1.2.3}} - \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}\)
\(\dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \dfrac{4}{{2.3.4}} - \dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}\)
\(........\)
\(\dfrac{2}{{18.19.20}} = \dfrac{{20 - 18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{{20}}{{18.19.20}} - \dfrac{{18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
\( \Rightarrow 2F = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \dfrac{2}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{3.4}} - \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{19.10 - 1}}{{19.20}} = \dfrac{{190 - 1}}{{380}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{{189}}{{380}}:2 = \dfrac{{189}}{{380}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{189}}{{760}}\)
Vậy \(F = \dfrac{{189}}{{760}} \cdot \)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Phương pháp
Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát:
\(A = \dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}\)\( \Rightarrow A.a = a\left( {\dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{1}{a} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^{n - 1}}}}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\).
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\) \( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2B = 2.1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 3 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B - B = 2 - \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}}\);
Vậy \(B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}} \cdot \)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Phương pháp
+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.
+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:
\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)
\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)
\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)
Dãy phân số viết theo quy luật là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 6, đặc biệt trong giai đoạn ôn hè để chuẩn bị cho năm học mới. Việc nắm vững kiến thức về dãy phân số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn phát triển tư duy logic và khả năng suy luận toán học.
Một dãy phân số được gọi là có quy luật nếu có một công thức hoặc một mối quan hệ nào đó liên kết các phân số trong dãy. Quy luật này có thể là cộng, trừ, nhân, chia, hoặc một quy luật phức tạp hơn.
Để giải các bài tập về dãy phân số, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy phân số: 1/2, 2/3, 3/4, ...
Giải: Ta thấy rằng tử số của mỗi phân số tăng lên 1 đơn vị, mẫu số của mỗi phân số cũng tăng lên 1 đơn vị. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy là 4/5.
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của dãy phân số: 1/1, 2/2, 3/3, ...
Giải: Ta thấy rằng mỗi phân số trong dãy đều bằng 1. Do đó, số hạng thứ 10 của dãy là 10/10 = 1.
Để học tốt về dãy phân số, học sinh cần:
Hy vọng rằng những kiến thức và phương pháp giải bài tập về dãy phân số trong bài viết này sẽ giúp các em học sinh ôn tập và nắm vững kiến thức Toán 6 một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
