Chương 5 Giới hạn.Hàm số liên tục

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục - Toán 11 Kết nối tri thức

Chương 5 trong sách giáo khoa Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là những khái niệm then chốt để hiểu về sự thay đổi của hàm số và là cơ sở cho việc học các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.

I. Giới hạn của hàm số

1. Định nghĩa giới hạn tại một điểm: Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a được ký hiệu là lim_x→a f(x) là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a (nhưng không bằng a). Định nghĩa này được thể hiện qua hai giới hạn một phía: giới hạn bên trái và giới hạn bên phải.

lim_x→a^- f(x): Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (x < a).
lim_x→a⁺ f(x): Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

Hàm số f(x) có giới hạn tại x = a khi và chỉ khi cả giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tồn tại và bằng nhau.

2. Các tính chất của giới hạn:

lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
lim_x→a [f(x) - g(x)] = lim_x→a f(x) - lim_x→a g(x)
lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

3. Các dạng giới hạn thường gặp:

lim_x→a c = c (c là hằng số)
lim_x→a x = a
lim_x→0 sin(x) / x = 1
lim_x→0 (1 - cos(x)) / x = 0

II. Hàm số liên tục tại một điểm

1. Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(x₀) xác định.
lim_x→x₀ f(x) tồn tại.
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục:

Hàm đa thức liên tục trên R.
Hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nó.
Hàm lượng giác (sin, cos) liên tục trên R.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1

Giải:

f(1) = 1² = 1

lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1

lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1

Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Ứng dụng của giới hạn và tính liên tục

Giới hạn và tính liên tục là những khái niệm cơ bản trong giải tích, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Chúng được sử dụng để mô tả sự thay đổi của các đại lượng, giải quyết các bài toán tối ưu hóa, và xây dựng các mô hình toán học.

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục - Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!