Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại giaitoan.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về hàm số liên tục, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện liên tục, các tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục. Hãy chuẩn bị sẵn sàng để cùng nhau khám phá!
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
*Nhận xét:
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Một số tính chất cơ bản
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức nâng cao hơn. Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, việc nắm vững lý thuyết hàm số liên tục là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến giới hạn, đạo hàm và tích phân.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục theo từng đoạn trên [a; b] nếu nó liên tục trên mỗi khoảng con của một phép chia đoạn [a; b] và liên tục phải tại các điểm chia.
Xét hàm số f(x) = x2 + 1. Hàm số này là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực, bao gồm cả khoảng (a; b) và điểm x0 bất kỳ.
Lý thuyết hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết hàm số liên tục, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết hàm số liên tục là một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học khác. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành để đạt được kết quả tốt nhất!
| Khái niệm | Định nghĩa |
|---|---|
| Hàm số liên tục tại x0 | Thỏa mãn 3 điều kiện: f(x0) xác định, limx→x0 f(x) tồn tại, limx→x0 f(x) = f(x0) |
| Hàm số liên tục trên (a; b) | Liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b) |
