Chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 3 trong sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là nền tảng quan trọng cho việc học tập các khái niệm giải tích trong các lớp học cao hơn. Chương này sẽ giúp học sinh hiểu rõ về ý nghĩa của giới hạn, cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm và trên một khoảng, cũng như các điều kiện để một hàm số được coi là liên tục.

I. Giới hạn của hàm số

1. Khái niệm giới hạn: Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a được ký hiệu là lim(x→a) f(x). Nó biểu thị giá trị mà hàm số f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a, nhưng không nhất thiết phải bằng a.

2. Các dạng giới hạn:

Giới hạn hữu hạn: lim(x→a) f(x) = L (L là một số thực).
Giới hạn vô cực: lim(x→a) f(x) = +∞ hoặc lim(x→a) f(x) = -∞.

3. Tính chất của giới hạn:

lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)
lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)
lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)
lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x) (với lim(x→a) g(x) ≠ 0)

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu:

Hàm số f(x) xác định tại x₀.
lim(x→x₀) f(x) tồn tại.
lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục:

Hàm đa thức.
Hàm phân thức (trừ các điểm làm mẫu số bằng 0).
Hàm lượng giác.
Hàm căn thức.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2)

Giải:

lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2) = lim(x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1

Giải:

lim(x→1^-) f(x) = lim(x→1^-) x² = 1

lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (2x - 1) = 1

f(1) = 1² = 1

Vì lim(x→1^-) f(x) = lim(x→1⁺) f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Ứng dụng của giới hạn và tính liên tục

Giới hạn và tính liên tục là những khái niệm cơ bản trong giải tích, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế,... Chúng được sử dụng để mô tả các hiện tượng biến đổi liên tục, tính toán các giá trị gần đúng, và giải quyết các bài toán tối ưu hóa.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập được trình bày trong chương này, bạn sẽ có một cái nhìn tổng quan và hiểu sâu hơn về giới hạn và tính liên tục của hàm số. Chúc bạn học tập tốt!