Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức về phép biến hình.
giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 11 chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \({H_1}\). Nối các trung điểm của \({H_1}\) để tạo thành tam giác \({H_2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \({H_1}\), để tạo thành tam giác \({H_3}\) (Hình 1).
Đề bài
Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \({H_1}\). Nối các trung điểm của \({H_1}\) để tạo thành tam giác \({H_2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \({H_1}\), để tạo thành tam giác \({H_3}\) (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác \({H_1},{H_2},{H_3},...\)
Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1:Tìm cạnh của tam giác đều thứ \(n\) dựa vào cạnh của tam giác đều thứ \(n - 1\).
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác đều thứ \(n\).
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\):
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của tam giác đều thứ \(n\).
Ta có: \({u_1} = a;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2};...\)
Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = a\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{a}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Chu vi của tam giác đều thứ \(n\) là: \({p_n} = 3{u_n} = \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Tổng chu vi của các tam giác của dãy là:
\({P_n} = 3{\rm{a}} + \frac{{3{\rm{a}}}}{2} + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}} + ... = 3{\rm{a}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 \Rightarrow {P_n} = 3{\rm{a}}.2 = 6{\rm{a}}\).
Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là:
\({s_n} = \frac{{u_n^2\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{a}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Tổng diện tích của các tam giác của dãy là:
\({S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
Tổng \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{4}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow {S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hình, cụ thể là phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết từng phần của bài tập này:
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản về phép biến hình:
Bài tập 7.1 yêu cầu xác định ảnh của một điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Để giải bài tập này, ta sử dụng công thức:
M' = M + v
Trong đó:
Ví dụ: Cho điểm M(2; 3) và vectơ v = (1; -2). Tìm ảnh M' của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải:
M' = M + v = (2 + 1; 3 - 2) = (3; 1)
Bài tập 7.2 yêu cầu xác định tâm quay và góc quay của một phép quay biến điểm A thành điểm A'. Để giải bài tập này, ta sử dụng công thức:
A' = Q(O, θ)(A)
Trong đó:
Ví dụ: Cho điểm A(1; 0) và điểm A'(0; 1). Tìm tâm quay và góc quay của phép quay biến điểm A thành điểm A'.
Giải:
Tâm quay O là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AA' và đường tròn tâm A bán kính AA'. Góc quay θ là góc giữa hai vectơ OA và OA'.
Bài tập 7.3 yêu cầu xác định phương trình của đường thẳng đối xứng với một đường thẳng cho trước qua một trục đối xứng. Để giải bài tập này, ta sử dụng công thức:
d' = Đa(d)
Trong đó:
Ví dụ: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và trục đối xứng a: x = 0. Tìm phương trình của đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua trục a.
Giải:
Lấy một điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh M'(x'; y') của điểm M qua trục a. Thay M' vào phương trình đường thẳng d' để tìm phương trình của d'.
Để củng cố kiến thức về phép biến hình, các em có thể làm thêm các bài tập sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
