Chương 2. Vecto và hệ tọa độ trong không gian

Chương 2: Vecto và hệ tọa độ trong không gian - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 2 trong sách Toán 12 tập 1, chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc nghiên cứu về vecto và ứng dụng của chúng trong không gian. Đây là một chương quan trọng, đặt nền móng cho việc học tập các kiến thức hình học không gian và giải quyết các bài toán liên quan đến hình học trong chương trình học.

I. Các khái niệm cơ bản về vecto

Vecto là một khái niệm quan trọng trong toán học, được sử dụng để biểu diễn cả độ lớn và hướng của một đại lượng. Trong không gian, vecto được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng. Các khái niệm cơ bản về vecto bao gồm:

• Vecto không: Là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, có độ dài bằng 0.
• Vecto đối: Là hai vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng.
• Vecto cùng phương: Là hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau.
• Vecto cùng chiều: Là hai vecto cùng phương và có cùng hướng.

II. Các phép toán trên vecto

Các phép toán trên vecto bao gồm:

• Phép cộng vecto: Quy tắc hình bình hành và quy tắc tam giác.
• Phép trừ vecto: Là phép cộng của vecto thứ nhất với vecto đối của vecto thứ hai.
• Phép nhân vecto với một số thực: Thay đổi độ dài của vecto, giữ nguyên hướng nếu số thực dương và đổi hướng nếu số thực âm.

III. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian là một hệ thống các trục tọa độ dùng để xác định vị trí của các điểm trong không gian. Hệ tọa độ thường dùng là hệ tọa độ Oxyz, trong đó có ba trục vuông góc với nhau là Ox, Oy, Oz.

Mỗi điểm trong không gian có một bộ tọa độ duy nhất (x, y, z) xác định vị trí của nó so với gốc tọa độ O.

IV. Các phép toán trên vecto trong hệ tọa độ

Trong hệ tọa độ, các phép toán trên vecto có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tọa độ của các vecto:

• Tọa độ của vecto: Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) thì vecto AB có tọa độ (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).
• Phép cộng vecto: Nếu a(x₁, y₁, z₁) và b(x₂, y₂, z₂) thì a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂).
• Phép nhân vecto với một số thực: Nếu a(x, y, z) và k là một số thực thì ka = (kx, ky, kz).

V. Ứng dụng của vecto và hệ tọa độ trong không gian

Vecto và hệ tọa độ trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính khoảng cách giữa hai điểm: Sử dụng công thức tính khoảng cách dựa trên tọa độ của hai điểm.
• Tìm phương trình mặt phẳng: Sử dụng vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
• Giải các bài toán về hình học không gian: Chứng minh các tính chất hình học, tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.

VI. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vecto AB.

Giải: Vecto AB có tọa độ (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3).

Bài tập 2: Cho a(1, 2, 3) và b(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vecto a + b.

Giải: Vecto a + b có tọa độ (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9).

Hy vọng với những kiến thức và bài tập minh họa trên, các em học sinh có thể nắm vững kiến thức về chương 2: Vecto và hệ tọa độ trong không gian của môn Toán 12, chương trình Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!