Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian, chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo tại giaitoan.edu.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về tọa độ vectơ, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách biểu diễn vectơ trong không gian, các phép toán trên vectơ, và ứng dụng của tọa độ vectơ trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
2. Tọa độ của điểm và vecto
a) Tọa độ của điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
b) Tọa độ của vecto
| Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.
Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).
Trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo, phần tọa độ của vectơ trong không gian đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức hình học không gian. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập ứng dụng để giúp bạn hiểu rõ và nắm vững kiến thức này.
Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, ta sử dụng hệ tọa độ Descartes ba chiều (Oxyz). Hệ tọa độ này bao gồm ba trục vuông góc nhau: trục Ox, Oy, Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi bộ ba số (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.
Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ có thể được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng, hoặc bằng bộ ba số (x, y, z), gọi là tọa độ của vectơ. Vectơ a = (x, y, z) có điểm đầu A(xA, yA, zA) và điểm cuối B(xB, yB, zB) thì a = (xB - xA, yB - yA, zB - zA).
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được tính bằng công thức: a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) là một vectơ c = a x b, có tọa độ được tính bằng định thức:
| i | j | k | |
|---|---|---|---|
| x1 | x1 | y1 | z1 |
| x2 | x2 | y2 | z2 |
Ứng dụng của tích có hướng:
Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Chúc bạn học tập tốt!
