Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 16 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 12, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trên toàn quốc.
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng \(109,5^\circ \)
Đề bài
Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó.
Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.
Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng \(109,5^\circ \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng một hệ trục tọa độ theo đề và dùng công thức tích vô hướng giữa 2 vecto để tìm góc liên kết
Lời giải chi tiết
Từ hình vẽ ta thấy góc liên kết là góc \((\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GS} )\)
Ta có: \(AE \bot BC\), \(SH \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH \bot AE\\SH \bot BC\end{array} \right.\) nên ta có hệ trục tọa độ như hình với với E trùng với gốc tọa độ O
Giả sử các cạnh của tứ diện có độ dài là a
Ta có: \(SE = AE = \sqrt {A{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{a}{2})}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A(\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0)\)
\(HE = \frac{{AE}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow H(\frac{{a\sqrt 3 }}{6};0;0)\)
\(SH = \sqrt {S{E^2} - H{E^2}} = \sqrt {{{(\frac{{a\sqrt 3 }}{2})}^2} - {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{6})}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow S(\frac{{a\sqrt 3 }}{6};0;\frac{{a\sqrt 6 }}{3})\)
Lại có: \(\frac{{FE}}{{SE}} = \frac{{HE}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow FH//SA\) và AF cắt SH tại G nên \(\frac{{GH}}{{GS}} = \frac{{GF}}{{GE}} = \frac{{FH}}{{SA}} = \frac{{HE}}{{AE}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow GH = \frac{1}{4}SH = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} \Rightarrow G(\frac{{a\sqrt 3 }}{6};0;\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}})\)
Do đó: \(\overrightarrow {GA} = (\frac{{a\sqrt 3 }}{3};0; - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}) \Rightarrow GA = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
\(\overrightarrow {GS} = (0;0;\frac{{a\sqrt 6 }}{4}) \Rightarrow GS = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Ta có: \(\cos (\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GS} ) = \frac{{ - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\frac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = - \frac{1}{3} \Rightarrow (\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GS} ) \approx 109,5^\circ \)
Bài tập 16 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học ở bậc đại học.
Bài tập 16 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải quyết bài tập 16 một cách hiệu quả, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập 16:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 3x - 2 tại x = 1.
Lời giải:
f'(x) = 2x + 3
f'(1) = 2(1) + 3 = 5
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 1 là 5.
Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x).
Lời giải:
g'(x) = cos(x) - sin(x)
Vậy, đạo hàm của hàm số g(x) là cos(x) - sin(x).
Đề bài: Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t3 - 6t2 + 9t + 2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây.
Lời giải:
Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: v(t) = s'(t)
s'(t) = 3t2 - 12t + 9
v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3
Vậy, vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là -3 m/s.
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý:
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán 12:
Bài tập 16 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
