Chương 8. Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo

I. Tổng quan về Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8 của sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo đi sâu vào nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, đặt nền móng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Các khái niệm cơ bản

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
• Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng đó.

II. Các định lý và tính chất quan trọng

1. Định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Ngược lại, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Chứng minh quan hệ vuông góc

Dạng bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Để giải quyết dạng bài tập này, cần nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc.

2. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cần tìm hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng, sau đó sử dụng các hàm lượng giác để tính góc.

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng

Để tính góc giữa hai mặt phẳng, cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm một đường thẳng vuông góc với giao tuyến và nằm trong một trong hai mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng này và mặt phẳng còn lại chính là góc giữa hai mặt phẳng.

IV. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

1. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
2. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với OC.
3. Tam giác SOC vuông tại O, suy ra góc SCO là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
4. Tính OC = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
5. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOC, ta có SC = $\sqrt{SA^2 + OC^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.
6. Suy ra sin SCO = $\frac{SO}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
7. Vậy góc SCO = arcsin($\sqrt{\frac{2}{3}}$).

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến d. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng M thuộc d.

Lời giải:

(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày đầy đủ với các bước chứng minh rõ ràng)

V. Lời khuyên khi học tập

Để học tốt chương 8, các em cần:

• Nắm vững các định nghĩa, định lý và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.
• Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và hiểu sâu kiến thức.
• Sử dụng hình vẽ để minh họa và trực quan hóa các khái niệm.
• Tham khảo các tài liệu tham khảo và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên khi gặp khó khăn.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!