Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp - SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Chương IX trong sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức đi sâu vào nghiên cứu về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp, những khái niệm quan trọng trong hình học liên quan đến đa giác. Việc hiểu rõ các tính chất và ứng dụng của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp.

1. Đường tròn ngoại tiếp đa giác

Đường tròn ngoại tiếp một đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của đa giác. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp được gọi là bán kính ngoại tiếp.

Điều kiện để một tứ giác có đường tròn ngoại tiếp: Một tứ giác có đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng 180 độ (tứ giác nội tiếp).
Tính chất của tứ giác nội tiếp:
- Các góc đối diện bù nhau.
- Góc tạo bởi tiếp tuyến và một cạnh bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

2. Đường tròn nội tiếp đa giác

Đường tròn nội tiếp một đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác của các góc của đa giác. Bán kính của đường tròn nội tiếp được gọi là bán kính nội tiếp.

Điều kiện để một tứ giác có đường tròn nội tiếp: Một tứ giác có đường tròn nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai cạnh đối diện bằng nhau.
Tính chất của tứ giác nội tiếp:
- Tổng hai cạnh đối diện bằng nhau.

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trong tam giác

Trong tam giác, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có mối quan hệ mật thiết với nhau. Công thức Euler chỉ ra mối liên hệ giữa khoảng cách d giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r:

d² = R(R - 2r)

4. Ứng dụng của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trong giải toán

Việc sử dụng các tính chất của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp giúp giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Ví dụ:

Tính độ dài các cạnh và góc của đa giác.
Chứng minh các tính chất hình học.
Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Lời giải:

Tính độ dài cạnh BC: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = 5/2 = 2.5cm
Bán kính đường tròn nội tiếp r = (AB + AC - BC)/2 = (3 + 4 - 5)/2 = 1cm

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết góc A = 80^o, góc C = 100^o. Tính góc B và góc D.

Lời giải:

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp, nên góc B + góc D = 180^o và góc A + góc C = 180^o. Do đó, góc B = 180^o - góc D và góc A + góc C = 80^o + 100^o = 180^o. Vậy, góc B và góc D có thể có nhiều giá trị khác nhau, miễn là tổng của chúng bằng 180^o.

Kết luận

Chương IX về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp là một phần quan trọng của chương trình Toán 9. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách tự tin và hiệu quả. Hy vọng với những giải thích chi tiết và bài tập minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này.