Giải Toán 11 Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Chân trời sáng tạo

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Chương 3 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Tập 1 tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để học tập các chương tiếp theo, đặc biệt là chương về đạo hàm và tích phân.

1. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Khái niệm giới hạn được sử dụng để mô tả hành vi của hàm số khi nó tiến gần đến một giá trị cụ thể. Có nhiều loại giới hạn, bao gồm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và giới hạn một bên.

Định nghĩa giới hạn: Nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới a là L, ký hiệu là lim_x→a f(x) = L.
Các tính chất của giới hạn: Giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số.
Các dạng vô định: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞.

2. Hàm số liên tục

Hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Tính liên tục là một tính chất quan trọng của hàm số, đảm bảo rằng hàm số không có 'lỗ hổng' hoặc 'nhảy vọt' tại điểm đó.

Định nghĩa hàm số liên tục: Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).
Các điều kiện đảm bảo tính liên tục: Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu f(x₀) xác định, lim_x→x₀ f(x) tồn tại và lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).
Tính liên tục trên một khoảng: Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Chương 3 cung cấp nhiều bài tập khác nhau để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán về giới hạn và tính liên tục. Các bài tập thường yêu cầu học sinh:

Tính giới hạn của hàm số.
Xác định xem một hàm số có liên tục tại một điểm hay không.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số.

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Lời giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } có liên tục tại x = 1 hay không?

Lời giải: Ta có lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1 và lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1. Hơn nữa, f(1) = 1² = 1. Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

4. Lời khuyên khi học tập

Để học tốt Chương 3, các em cần:

Nắm vững định nghĩa và các tính chất của giới hạn và tính liên tục.
Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả và hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số.

Hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ học tốt Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo Tập 1. Chúc các em thành công!