Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 2 trang 90 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp các giải pháp học tập hiệu quả và chất lượng.
Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm \(x = 2\): a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}6 - 2x\;\;\;khi\;x \ge 2\\2{x^2} - 6\;\;khi\;x < 2\end{array} \right.\); b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.\).
Đề bài
Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm \(x = 2\):
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}6 - 2x\;\;\;khi\;x \ge 2\\2{x^2} - 6\;\;khi\;x < 2\end{array} \right.\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm 2.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {6 - 2x} \right) = 6 - 2.2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2{x^2} - 6} \right) = {2.2^2} - 6 = 2\), \(f\left( 2 \right) = 6 - 2.2 = 2\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( x \right) = 2\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \(x = 2\).
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm 2.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 2 + 2 = 4\);
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \ne f\left( 2 \right)\left( {do\;4 \ne 0} \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \(x = 2\).
Bài 2 trang 90 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) để giải quyết các bài toán liên quan đến việc tìm tập xác định, tập giá trị, tính chu kỳ và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 2 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh khác nhau của hàm số lượng giác. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:
Để tìm tập xác định của hàm số, ta cần xác định các giá trị của x sao cho biểu thức trong hàm số có nghĩa. Trong trường hợp này, ta cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0 và biểu thức dưới dấu căn bậc hai lớn hơn hoặc bằng 0. Sau khi giải các bất phương trình tương ứng, ta sẽ tìm được tập xác định của hàm số.
Để tính giá trị của hàm số tại một điểm cụ thể, ta chỉ cần thay giá trị của x vào biểu thức của hàm số và thực hiện các phép tính. Lưu ý rằng, trước khi thay giá trị của x, ta cần kiểm tra xem giá trị đó có thuộc tập xác định của hàm số hay không.
Chu kỳ của hàm số lượng giác là giá trị nhỏ nhất của T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số. Để tìm chu kỳ, ta cần sử dụng các công thức tính chu kỳ của từng hàm số lượng giác. Ví dụ, chu kỳ của hàm số sin(x) và cos(x) là 2π, chu kỳ của hàm số tan(x) và cot(x) là π.
Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị, chẳng hạn như các điểm giao với trục tọa độ, các điểm cực trị và các điểm đối xứng. Sau đó, ta có thể vẽ đồ thị bằng cách nối các điểm này lại với nhau. Lưu ý rằng, đồ thị của hàm số lượng giác thường có tính chất tuần hoàn.
Ngoài việc giải bài tập, học sinh cũng nên tìm hiểu thêm về các ứng dụng thực tế của hàm số lượng giác trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như vật lý, kỹ thuật và kinh tế. Việc hiểu rõ các ứng dụng này sẽ giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của môn Toán và có thêm động lực để học tập.
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, học sinh cũng có thể tham gia các diễn đàn học tập trực tuyến để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với các bạn cùng lớp.
Bài 2 trang 90 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
