Bài 10 trang 85 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}\); c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \).
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về quy tắc tính giới hạn vô cực để tính:
a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty \)
b) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = + \infty \)
c) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = + \infty \)
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} \) \( = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^3}}} \) \( = 1 > 0\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] \) \( = - \infty \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x.\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right]\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \) \( = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}} \) \( = \frac{{1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x}}}{{3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}} \) \( = \frac{1}{3} > 0\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x.\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right] \) \( = + \infty \)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right] \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right]\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right) \) \( = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \) \( = \sqrt {1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}} \) \( = 1 > 0\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right] \) \( = + \infty \)
Bài 10 trang 85 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Dưới đây là hướng dẫn chi tiết giải bài 10 trang 85 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1:
(Giả sử đề bài là: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1)
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1, ta áp dụng các quy tắc tính đạo hàm:
Vậy, f'(x) = 3x^2 - 4x + 5
Bước 1: Tính đạo hàm của x^3. Áp dụng quy tắc đạo hàm của x^n, ta có đạo hàm của x^3 là 3x^2.
Bước 2: Tính đạo hàm của -2x^2. Áp dụng quy tắc đạo hàm của x^n và quy tắc đạo hàm của một hằng số nhân với hàm số, ta có đạo hàm của -2x^2 là -4x.
Bước 3: Tính đạo hàm của 5x. Áp dụng quy tắc đạo hàm của x^n và quy tắc đạo hàm của một hằng số nhân với hàm số, ta có đạo hàm của 5x là 5.
Bước 4: Tính đạo hàm của -1. Vì -1 là một hằng số, đạo hàm của nó là 0.
Bước 5: Cộng các đạo hàm vừa tính được, ta có f'(x) = 3x^2 - 4x + 5.
Hãy tính đạo hàm của hàm số g(x) = 2x^4 + x^2 - 3x + 7.
Lời giải: g'(x) = 8x^3 + 2x - 3
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Ví dụ, đạo hàm được sử dụng để tìm cực trị của hàm số, để tính vận tốc và gia tốc của vật chuyển động, để tối ưu hóa lợi nhuận của doanh nghiệp,...
Để hiểu sâu hơn về đạo hàm, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập khác hoặc tìm kiếm trên internet.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 10 trang 85 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
