Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 2 của sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học. Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Chương này sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản về dãy số, các loại dãy số đặc biệt như cấp số cộng và cấp số nhân, và các phương pháp tính toán liên quan.

I. Dãy số

1. Khái niệm dãy số: Dãy số là một hàm số u: N → R (hoặc một tập con của N) được xác định bởi một quy tắc nào đó. Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy số.

2. Cách đặt tên dãy số: Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy số.

3. Các loại dãy số:

• Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử hữu hạn.
• Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử vô hạn.
• Dãy số tăng: Dãy số mà mỗi số hạng lớn hơn số hạng đứng trước nó.
• Dãy số giảm: Dãy số mà mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng đứng trước nó.

II. Cấp số cộng

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai.

2. Công thức tổng quát:u_n = u₁ + (n - 1)d

3. Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

III. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi q, gọi là công bội.

2. Công thức tổng quát:u_n = u₁ * q^{(n - 1)}

3. Tổng n số hạng đầu tiên:

• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
• Nếu q = 1: S_n = n * u₁

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

Giải: Áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d, ta có u₅ = 2 + (5 - 1) * 3 = 2 + 12 = 14.

Bài 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2. Tìm tổng của 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), ta có S₄ = 1 * (1 - 2⁴) / (1 - 2) = (1 - 16) / (-1) = 15.

V. Ứng dụng của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.
• Giải các bài toán về hình học.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập được trình bày trong chương này, bạn sẽ có một cái nhìn tổng quan và hiểu sâu hơn về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Chúc bạn học tập tốt!