Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dãy số trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại giaitoan.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, các định nghĩa, tính chất và ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ về dãy số.

Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả, với nội dung được trình bày một cách dễ hiểu và logic. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của dãy số!

1. Định nghĩa dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\)được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u_n} = u\left( n \right)\)

Dãy số trên được kí hiệu là \(\left( {{u_n}} \right)\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

- Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).

Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo 1

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Bài tập Toán lớp 11 trên nền tảng toán. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết dãy số là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến giới hạn, đạo hàm và tích phân.

1. Định nghĩa Dãy số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên ℕ (hoặc một tập con của ℕ) và nhận giá trị trong tập số thực ℝ. Ký hiệu: u: ℕ → ℝ.

Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy số. Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy số.

2. Các loại Dãy số thường gặp

Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử hữu hạn. Ví dụ: (1, 2, 3, 4, 5)
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử vô hạn. Ví dụ: (1, 2, 3, ...)
Dãy số tăng: Dãy số mà mỗi số hạng lớn hơn số hạng đứng trước nó. u_n+1 > u_n
Dãy số giảm: Dãy số mà mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng đứng trước nó. u_n+1 < u_n
Dãy số không đổi: Dãy số mà tất cả các số hạng bằng nhau. u_n = c (c là hằng số)

3. Các Dãy số đặc biệt

Dãy số tự nhiên: (1, 2, 3, ...)
Dãy số nguyên: (... -2, -1, 0, 1, 2, ...)
Dãy số hữu tỉ: Dãy số mà các số hạng là các số hữu tỉ.
Dãy số vô tỉ: Dãy số mà các số hạng là các số vô tỉ.

4. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai. Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n - 1)d.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = (n/2)(u₁ + u_n) hoặc S_n = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d].

5. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi q, gọi là công bội. Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^{(n - 1)}.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Nếu q ≠ 1: S_n = u₁(1 - qⁿ) / (1 - q)
Nếu q = 1: S_n = n * u₁

6. Giới hạn của Dãy số

Giới hạn của một dãy số là giá trị mà dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Ký hiệu: lim u_n = L.

Để xét giới hạn của dãy số, ta thường sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số, chẳng hạn như định lý về giới hạn của dãy số đơn điệu bị chặn.

7. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải:u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29.

Bài 2: Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2.

Giải:S₂₀ = u₁(1 - q²⁰) / (1 - q) = 1(1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!