Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa lượng giác. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng áp dụng vào giải quyết bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng:
Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).
Bước 3: Chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), từ đó kết luận dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa lượng giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng áp dụng chúng vào giải quyết bài toán.
Bài 5 yêu cầu học sinh thực hiện các phép biến hóa lượng giác để rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1, học sinh có thể thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức cos(a + b) + cos(a - b)
Giải:
cos(a + b) + cos(a - b) = (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) = 2 cos a cos b
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sin^2 a + cos^2 a = 1
Giải:
Ta có: sin^2 a + cos^2 a = (sin a)^2 + (cos a)^2. Theo định lý Pitago trong tam giác vuông, ta có sin^2 a + cos^2 a = 1. Vậy đẳng thức được chứng minh.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể thực hiện các bài tập sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và bài tập luyện tập này, học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
