Chào mừng các em học sinh lớp 5 đến với bài học về Dạng 2: Các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch. Đây là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán nâng cao, giúp các em hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với hệ thống bài tập đa dạng, phong phú, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
: Một đội công nhân gồm 8 người được giao đắp một đoạn mương trong 20 ngày. Sau khi đắp được 5 ngày, đội đó được bổ sung thêm 16 người về cùng làm ... Một đơn vị thanh niên xung phong chuẩn bị một số gạo đủ cho đơn vị ăn trong 30 ngày. Sau 10 ngày đơn vị nhận thêm 10 người nữa.
Hai đại lượng gọi là tỉ lệ nghịch nếu đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần. Phương pháp giải: Khi giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận ta có thể dùng phương pháp rút về đơn vị, phương pháp dùng tỉ số hoặc quy tắc tam suất nghịch. |
Ví dụ 1: 10 người làm xong một công việc phải hết 7 ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người? (Mức làm mỗi người như nhau).
Tóm tắt
10 người: 7 ngày
? người: 5 ngày
Giải
1 người làm xong công việc hết số ngày là
10 x 7 = 70 (ngày)
Để làm xong công việc trong 5 ngày cần số người là
70 : 5 = 14 (người)
Đáp số: 14 người
Ví dụ 2: Một đội công nhân gồm 8 ngườiđược giao đắp một đoạn mương trong 20 ngày. Sau khi đắp được 5 ngày, đội đó được bổ sung thêm 16 người về cùng làm. Hỏi đơn vị đó đắp xong đoạn mương được giao trong bao nhiêu ngày? Biết năng suất làm việc của mọi người trong một ngày là như nhau.
Giải
Cách 1 (Phương pháp rút về đơn vị)
Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là:
20 – 5 = 15 (ngày)
Số người của đội đó sau khi được bổ sung thêm là
8 + 16 = 24 (người)
Thời gian để 1 người làm xong công việc còn lại là
15 x 8 = 120 (ngày)
Thời gian để đội công nhân đó sau khi được bổ sung thêm người làm xong công việc còn lại là
120 : 24 = 5 (ngày)
Thời gian để cả đội công nhân hoàn thành toàn bộ công việc được giao là
5 + 5 = 10 (ngày)
Đáp số: 10 ngày
Cách 2 (Phương pháp dùng tỉ số)
Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là:
20 – 5 = 15 (ngày)
Số người của đội đó sau khi được bổ sung thêm là
8 + 16 = 24 (người)
Số người của đội đó sau khi được bố sung thêm gấp số người lúc đầu là
24 : 8 = 3 (lần)
Thời gian để đội đó làm xong công việc còn lại là
15 : 3 = 5 (ngày)
Thời gian để cả đội công nhân hoàn thành toàn bộ công việc được giao là
5 + 5 = 10 (ngày)
Đáp số: 10 ngày
Ví dụ 3: Một đơn vị thanh niên xung phong chuẩn bị một số gạo đủ cho đơn vị ăn trong 30 ngày. Sau 10 ngày đơn vị nhận thêm 10 người nữa. Hỏi số gạo còn lại đơn vị sẽ đủ ăn trong bao nhiêu ngày, biết lúc đầu đơn vị có 90 người?
Giải
Sau 10 ngày, số gạo còn lại dự định đủ ăn trong số ngày là
30 – 10 = 20 (ngày)
1 người theo dự định ăn hết số gạo trong số ngày là
90 x 20 = 1800 (ngày)
Sau khi thêm 10 người đơn vị có số người là
90 + 10 = 100 (người)
Thực tế, số gạo còn lại đủ ăn trong số ngày là
1800 : 100 = 18 (ngày)
Đáp số: 18 ngày
Trong chương trình Toán nâng cao lớp 5, dạng toán về đại lượng tỉ lệ nghịch đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh. Hiểu rõ bản chất của mối quan hệ tỉ lệ nghịch và cách áp dụng vào giải toán là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi và học tập.
Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu khi đại lượng này tăng lên một số lần thì đại lượng kia giảm xuống một số lần và ngược lại, tích của hai đại lượng luôn không đổi. Ví dụ, vận tốc và thời gian đi hết một quãng đường nhất định là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Nếu vận tốc tăng lên gấp đôi thì thời gian đi hết quãng đường đó sẽ giảm đi một nửa.
Để nhận biết một bài toán thuộc dạng đại lượng tỉ lệ nghịch, chúng ta cần chú ý đến các dấu hiệu sau:
Có hai phương pháp chính để giải bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch:
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, ta có công thức: x * y = k (k là hằng số tỉ lệ). Để tìm k, ta thay một cặp giá trị tương ứng của x và y vào công thức. Sau đó, để tìm x hoặc y khi biết giá trị của đại lượng còn lại, ta sử dụng công thức: x = k/y hoặc y = k/x.
Trong một số trường hợp, ta có thể giải bài toán bằng cách lập luận trực tiếp dựa trên tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch. Ví dụ, nếu đại lượng x tăng lên gấp 3 lần thì đại lượng y sẽ giảm xuống 3 lần.
Bài toán: Một đội công nhân có 15 người làm xong một công việc trong 8 ngày. Hỏi nếu đội công nhân đó có 20 người thì làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày?
Giải:
Gọi x là số ngày cần thiết để 20 công nhân làm xong công việc. Số công nhân và số ngày làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta có: 15 * 8 = 20 * x
Suy ra: x = (15 * 8) / 20 = 6
Vậy, nếu đội công nhân đó có 20 người thì làm xong công việc đó trong 6 ngày.
Dưới đây là một số bài tập luyện tập để các em củng cố kiến thức về dạng toán này:
Khi giải bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, các em cần chú ý:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch trong chương trình Toán nâng cao lớp 5. Chúc các em học tập tốt!
