Bài toán về chữ số tận cùng là một dạng toán nâng cao thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và các bài kiểm tra Toán lớp 5. Việc nắm vững phương pháp giải quyết dạng bài này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán về chữ số tận cùng.
Không thực hiện các phép tính, tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau: (2001 + 2002 +….+ 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109) Tìm chữ số tận cùng của biểu thức: 123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79
1. Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0 - Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy. - Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy. - Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5. - Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5. - Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6. - Tích của 4 thừa số 3 (3 x 3 x 3 x 3) có tận cùng là 1. - Tích của 4 thừa số 2 (2 x 2 x 2 x 2) có tận cùng là 6. - Tích của 4 thừa số 9 (9 x 9 x 9 x 9) có tận cùng là 1. - Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1. - Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6. - Tích của chẵn các thừa số 4 (4 x 4 = 16) có tận cùng là 6 - Tích của lẻ các thừa số 4 (4 x 4 x 4 = 64) có tận cùng là 4. 2. Chữ số tận cùng là các chữ số 0 - Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0. - Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm..) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số tận cùng là một chữ số 0. - Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;..... khi nhân với một số chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0. - Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết cho 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0. - Tích a x a không thể có chữ số tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 hoặc 8 |
Ví dụ 1:
Không thực hiện các phép tính, tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
(2001 + 2002 +….+ 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109)
Giải:
Ta thấy chữ số tận cùng của tổng 2001 + 2002 +….+ 2009 bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + …+ 9 => 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là 5
Chữ số tận cùng của tổng 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + …+ 9 => 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 có chữ số tận cùng là 5
Vậy (2001 + 2002 +…. + 2009) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109) có chữ số tận cùng là 0.
Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của biểu thức:
123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79
Giải:
Tìm chữ số tận cùng của 123 x 235 x 347 x 459 x 561
Ta xét 3 x 5 x 7 x 9 x 1 là tích của số 5 và các số lẻ nên có tận cùng là 5
=> 123 x 235 x 347 x 459 x 561 có chữ số tận cùng là 5
Tương tự ta có: 71 x 73 x 75 x 77 x 79 có chữ số tận cùng là 5
Vậy 123 x 235 x 347 x 459 x 561 – 71 x 73 x 75 x 77 x 79 có chữ số tận cùng là 0
Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của A = 3 x 3 x ….x 3 (50 thừa số 3)
Giải:
Ta có: 3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng 1.
Vì 50 : 4 = 12 dư 2
Vậy 50 thừa số 3 ta nhóm được 12 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số 3) và dư ra 2 thừa số 3
A = (3 x 3 x 3 x 3) x ….x (3 x 3 x 3 x 3) x 3 x 3
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 1
Vậy tích A có chữ số tận cùng là 9.
Ví dụ 4: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?
B = 4 x 14 x 24 x 34 x ….x 164
Giải:
Tích trên có số thừa số: (164 - 4) : 10 + 1 = 17 ( thừa số)
Ta có: 4 x 4 = 16, tích của 2 chữ số 4 cho chữ số tận cùng là 6.
Vì 17 : 2 = 8 dư 1
Vậy 17 thừa số trên ta nhóm được 8 nhóm (mỗi nhóm 2 thừa số) và dư ra 1 thừa số.
B = (4 x 14) x (24 x 34) x …. x (144 x 154) x 164
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6, số 164 có tận cùng là 4
Vậy B có chữ số tận cùng là 4.
Ví dụ 5: Tích A = 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
Tích của 4 và 25 có 2 chữ số 0 tận cùng
Tích của 6 và 45 có 1 chữ số 0 tận cùng
Vậy A có 3 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 6: Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
A = 1 x 2 x 3 x …. x 50
Giải:
Các thừa số chia hết cho 5 trong tích trên là 5 ; 10 ; 15 ; …. 50
Số thừa số chia hết cho 5 là (50 – 5) : 5 + 1 = 10 (số)
Có 2 thừa số chia hết cho 25 là 25 và 50.
Ta có 25 = 5 x 5 và 50 = 5 x 5 x 2
Số thừa số 5 trong tích là 10 + 2 = 12 (thừa số 5)
Số thừa số chẵn là (50 – 2) : 2 + 1 = 25 (số)
Mỗi thừa số 5 khi nhân với một số chẵn cho tận cùng là 1 chữ số 0.
Vậy tích đã cho có 12 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 7: Cho X = A - B, biết:
A = 3 x 13 x 23 x.......x 2003 x 2013
B = 2 x 12 x 22 x ........x 2002 x 2012
Hỏi X có chia hết cho 5 không?
Giải:
A có số các thừa số là: (2013 – 3) : 10 + 1 = 202 (thừa số)
B có số các thừa số là: (2012 – 2) : 10 + 1 = 202 (thừa số)
Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) và dư ra 2 thừa số tận cùng là 3
=> A có tận cùng là 9.
Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) và dư ra 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2.
=> B tận cùng là 4.
Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.
Bài toán về chữ số tận cùng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán nâng cao lớp 5. Nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các quy tắc về phép toán và khả năng quan sát, phân tích để tìm ra quy luật của bài toán.
Chữ số tận cùng là chữ số ở hàng đơn vị của một số. Ví dụ, trong số 12345, chữ số tận cùng là 5. Việc xác định chữ số tận cùng của một số có ý nghĩa quan trọng trong nhiều bài toán, đặc biệt là các bài toán liên quan đến phép nhân, phép chia và phép lũy thừa.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 2 | 5 | 8 | 1 | 4 | 7 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 2 | 6 | 0 | 4 | 8 | 2 | 6 |
| 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 |
| 6 | 0 | 6 | 2 | 8 | 4 | 0 | 6 | 2 | 8 | 4 |
| 7 | 0 | 7 | 4 | 1 | 8 | 5 | 2 | 9 | 6 | 3 |
| 8 | 0 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| 9 | 0 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Để giải bài toán về chữ số tận cùng một cách nhanh chóng và chính xác, bạn nên:
Hãy thử giải các bài tập sau để kiểm tra kiến thức của bạn:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp trên, bạn sẽ tự tin giải quyết mọi bài toán về chữ số tận cùng trong chương trình Toán nâng cao lớp 5. Chúc bạn học tốt!
