Giải Toán 11 Chương III: Giới hạn. Hàm số liên tục - Cánh Diều

Chương III: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Cánh Diều: Tổng quan

Chương III trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều Tập 1 tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững các khái niệm này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học tập ở bậc trung học phổ thông mà còn là nền tảng cho các môn học nâng cao sau này.

1. Giới hạn của hàm số

Khái niệm giới hạn hàm số là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong giải tích. Nó mô tả hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Chương này sẽ giới thiệu các định nghĩa về giới hạn, các tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn.

Định nghĩa giới hạn: Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a được ký hiệu là lim(x→a) f(x) và bằng L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
Các tính chất của giới hạn: Tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn (khi mẫu khác 0).
Các phương pháp tính giới hạn: Sử dụng định nghĩa, sử dụng các tính chất, sử dụng các giới hạn đặc biệt (ví dụ: lim(x→0) sin(x)/x = 1).

2. Hàm số liên tục

Hàm số liên tục là hàm số không gián đoạn tại bất kỳ điểm nào trong tập xác định của nó. Tính liên tục của hàm số là một điều kiện cần thiết để hàm số có đạo hàm và tích phân.

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).
Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.
Các điều kiện đảm bảo tính liên tục: Hàm đa thức, hàm hữu tỉ (trừ các điểm làm mẫu số bằng 0), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit đều liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Chương III cung cấp một loạt các bài tập từ cơ bản đến nâng cao để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán. Dưới đây là một số ví dụ về các dạng bài tập thường gặp:

Tính giới hạn của hàm số: Sử dụng định nghĩa, các tính chất và các giới hạn đặc biệt.
Xác định xem hàm số có liên tục tại một điểm hay không: Kiểm tra xem giới hạn của hàm số tại điểm đó có tồn tại và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó hay không.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số: Xác định các điểm mà hàm số không liên tục.

Ví dụ 1: Tính lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4.

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } có liên tục tại x = 1 hay không?

Giải: Ta có lim(x→1^-) f(x) = lim(x→1^-) x² = 1 và lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (2x - 1) = 1. Hơn nữa, f(1) = 1² = 1. Vì lim(x→1) f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

4. Lời khuyên khi học tập

Để học tốt Chương III, các em cần:

Nắm vững định nghĩa và các tính chất của giới hạn và hàm số liên tục.
Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả và hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số.
Tham khảo các tài liệu tham khảo khác để mở rộng kiến thức.

Hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em sẽ học tốt Chương III: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Cánh Diều Tập 1. Chúc các em thành công!